1.2.2 Гармонический анализ периодических сигналов

При разложении периодического сигнала s(t)в ряд Фурье по триго­нометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут

(1.18)

Или

(1.19)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом функцииs(t).

Система функций (1.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (1.19) — к комплексной форме. Между этими двумя фор­мами существует простая связь.

Воспользуемся сначала ортогональной системой (1.19). Тогда ряд Фу­рье должен быть записан в форме

. (1.20)

Совокупность коэффициентов с_пряда Фурье в базисе тригонометриче­ских функций называетсячастотным спектромпериодическо­го сигнала. Коэффициенты ряда (1.20) с_плегко определяются с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе.

Из формулы (1.16) следует, что

. (1.21)

Таким образом, независимо от пнорма.Используя форму­лу (1.9), получаем

. (1.22)

В выражениях (1.21) и (1.22) учтено, что функции соответствует комплексно-сопряженная функция

Коэффициенты с_пв общем случае являются комплексными величина­ми. Подставив в (1.22)

. (1.23)

Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента с_nопределяются формулами

, . (1.24)

Коэффициенты часто бывает удобно записывать в форме

, (1.25)

где

, . (1.26), (1.27)

Модуль является функцией, четной относительноп,а аргументпоказывающих, чтоявляется четной,aнечетной функциями п.

Общее выражение (1.20) можно привести к виду

. (1.28)

Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (1.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо за­данному значению |n|,например |n|=2, и, учтя соотношения,получим для суммы этих слагаемых

. (1.29)

Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (1.28) необходимо записать следующим образом:

. (1.30)

Смысл удвоения коэффициентов Фурье c_nв тригонометрическом ряду прип> 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 1.3), соответствующей (1.29) при |n|=2. Вещественная функцияполучается как сумма проекций на горизонтальную осьОВдвух векторов длиной |с_n|, вращающихся с угловой частотой во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращаю­щийся по часовой стрелке, — отрицательной. После перехода к тригономе­трической форме понятие «отрицательная частота» теряет смысл.Коэф­фициентc_Qне удваивается, так как в спектре периодического сигнала со­ставляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».

Вместо выражения (1.30) в математической и радиотехнической литера­туре часто встречается следующая форма записи:

, (1.31)

причем _.

Рис. 1.3. Представление гармо­нического колебания в виде двух комплексных

составляющих: с положительной и отри­цательной частотами

Из сопоставления выражений (1.31) и (1.30) видно, что амплитуда п-й гармоникиА_псвязана с коэффициентом |с_n| ряда (1.28) соотношением

, а , .

Таким образом, для всех положительных значений п(включая ип= 0)

, . (1.32)

Если сигнал представляет собой функ­цию, четную относительно t,т. е.s(t)=s(-t), втригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициентыb_пв соответствии с формулой (1.32) обращаются в нуль. Для нечетной относительноtфункцииs(t),наобо­рот, в нуль обращаются коэффициентыа_пи ряд состоит только из синусоидальных членов.

Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплекс­ных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное пред­ставление о «ширине» спектра дает графи­ческое изображение спектра амплитуд. В ка­честве примера на рис. 1.4.а, построен спектр коэффициентов |с_п|,а на рис. 1.4,б — спектр амплитудА_п = 2|с_п| для одного и того же периодического колебания. Для исчерпывающей характеристики спектра подобные построения должны быть дополне­ны заданием начальных фаз отдельных гармоник.

Рис. 1.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье пе­риодической функции времени

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным,так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотами т. д.

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на про­хождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетво­рительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммиро­вать большое число гармоник.