2.4.2 Согласованный линейный фильтр

Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции физически осуществимогофильтра, обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения сигнал-помеха. Передаточную функцию бу­дем представлять в форме

K.

Таким образом, задача сводится к отысканию АЧХ и ФЧХоптимального фильтра. Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фонебелого шумас равномерным спектром.

Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) передаточной функ­ции составим выражения для сигнала и шума на выходе фильтра сна­чала порознь, а затем в виде их отношения.

Сигнал в фиксированный момент времени t₀определяем общим выраже­нием

а среднеквадратическое значение помехи — выражением

В выражении (2.51) — спектральная плотность заданного входного сигналаs(t),а подt₀подразумевается момент времени (пока еще не определенный), соответствующий максимуму (пику) сигнала на выходе фильтра. Смысл и минимально возможное значениеt₀подробнее рас­сматриваются в следующем параграфе, однако из простых представлений очевидно, что для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала. Иными словами,t₀не может быть раньше момента окончания сигнала.

Составим теперь отношение

Воспользуемся известным неравенством Шварца

, (2.54)

где F₁(х)иF₂(x) — в общем случае комплексные функции.

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении усло­вия

, (2.55)

т.е. когда функция F₂(х)пропорциональна функции, комплексно-сопря­женнойF₁(х)(А- произвольный постоянный коэффициент).

Приравнивая в (13.4) изаписываем неравенство (13.4) в форме

,

Тогда выражение (2.53) позволяет составить следующее неравенство:

. (2.56)

Учитывая, что выражение в квадратных скобках правой части этого неравенства есть не что иное, как полная энергия Эвходного сигнала, приходим к следующему результату:

(2.57)

Наконец, из выражения (2.55) следует, что это неравенство обращается в равенство при выполнении условия

,

или, что то же,

. (2.58)

Полученное соотношение полностью определяет передаточную функцию фильтра, максимизирующего отношение сигнал-помеха на выходе (при входной помехе типа белого шума).

Функция К(iw), отвечающая условию (2.58),согласованасо спектраль­ными характеристиками сигнала — амплитудной и фазовой. В связи с этим рассматриваемый оптимальный фильтр часто называютсогласованным фильтром.

Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая осуществимость.Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтраК(iw) является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигналаS(w), указывает на существование тесной связи также и между временными харак­теристиками фильтра и сигнала. Для выявления этой связи найдем импульс­ную характеристику согласованного фильтра.

Учитывая формулу (2.58), получаем

Учитывая, что и переходя к новой переменной,переписываем выражение (2.63) следующим образом:

. (2.64)

Правая часть этого выражения есть не что иное, как функция . Следовательно, если задан сигнал,то импульсная характеристика согла­сованного (оптимального) фильтраопределяется как функция

(2.65)

т. е. импульсная характеристика по своей форме должна совпадать с зеркаль­ным отражением сигнала.

Построение графика функции s(t₀—t)показано на рис. 2.9. Криваяs(—t)является зеркальным отражением заданного сигналаs(t)с осью ор­динат в качестве оси симметрии. Функция жеs(t₀ — t),сдвинутая относи­тельноs(—t)на времяt₀вправо, также зеркальна по отношению к исход­ному сигналуs(t),но с осью симметрии, проходящей через точкуt₀/2на оси абсцисс. На рис. 2.10 показано аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Рис. 2.9. Построение функции, Рис. 2.10. Построение импульсн­ой

зеркальной по отношению характеристики

к сигналу согласованного фильтра

Поскольку импульсная характеристика физической цепи не может на­чинаться при t<0[отклик фильтра не может опережать воздействие], то очевидно, что задержка,фигурирующая в выражении (2.58), не может быть меньше. Только приможет быть использована вся энергия сигнала для создания наибольшего возможного пика в точке. Ясно, что увеличениесверхне влияет на пиковое значение выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

Кроме того, условие накладывает на сигналеs(t)требование, что­быдлительность его была конечна,только в этом случае при конечной за­держкеможно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение сог­ласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в опи­санном выше смысле возможно приимпульсномсигнале (а также ограничен­ной по продолжительности пачке импульсов).

Обратимся к вопросу о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задан произвольный сигнал s(t),которому соответствуют им­пульсная характеристика согласованного фильтраg(t)и преобразование Фурье от этой функцииК(iw), определяемые соответственно выражениями (2.65) и (2.68). Возникает вопрос, при каких условияхК(iw)может являть­ся передаточной функциейфизически осуществимого четырехполюсника.

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли — Винера, согласно которому неравенство

является необходимым условием, чтобы положительная функция K(w)могла быть модулем передаточной функции электрической цепи.

Хотя критерий Пэли — Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия о свойствах электри­ческих цепей.

В частности, из него следует, что АЧХ К(w)должна бытьинтегрируе­мой в квадрате, т. е.. Только при этом условии числительрастет с увеличениемwмедленнее, чем знаменатель1+, и условие (2.66) выполняется.

Например, передаточная функция ,w> 0, реализуема, так какрастет медленнее, чем. Гауссовский фильтр с передаточной функциейне реализуется, так какрастет с уве­личениемwс такой же скоростью, что и знаменатель.

Далее, АЧХ К(w)может быть равной нулю только на некоторых диск­ретных частотах, но не в конечной или бесконечно большой полосе частот. Действительно, если в полосе частотфункцияК(w) =0, тообращается в бесконечность и интеграл в (2.66) расходится. Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу, что фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы, хотя практически можно получить характеристики, близкие к идеальным.

Так как в рассматриваемой задаче синтеза согласованного фильтра за­дано равенство [см. (2.58)], то условие (2.66) можно запи­сать в виде

и все приведенные выше ограничения на К(w)можно распространить на мо­дуль спектральной плотности сигналаS(w).