2.2.3 Спектральный состав тока в безынерционном нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии

Рассмотрим явления в простейшей цепи, образованной последовательным соединением источника гармонического сигнала , источника постоянного напряжения смещенияи безынерционного нелинейного элемента. Найдем форму тока в цепи, воспользовавшись несложными графическими построениями, приведенными на рис. 2.5.

Легко видеть, что формы тока и напряжения оказываются здесь различными. Причина искажения кривой тока очень проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают не­одинаковые приращения тока,поскольку, а диф­ференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на разных участках также различна.

Подходя к описанной задаче аналити­чески, будем считать известной нелинейную функцию .

Рис. 2.5. Графическое построение кривой, отображающей изменение тока

в безынерционной нелинейной цепи

Пусть к входным зажимам нелинейного двухполюсника приложено напряжение сигнала . Если ввести безразмерную переменнуюто функция

(2.17)

оказывается периодической относительно аргумента с пе­риодом 2π, поэтому она может быть представлена рядом Фурье

с коэффициентами

.

Поскольку функция четная, ряд Фурье (2.18) будет содержать только косинусоидальные слагаемые:

. (2.19)

Амплитудные коэффициенты гармоник выражаются сле­дующим образом:

Формулы (12.19) и (2.20) дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном безынерционном элементе при гармоническом внешнем воздействии. Оказывается, что ток

кроме постоянной составляющей , содержит бесконечную последовательность гармоник с амплитудами,п= 1, 2, ... Амплитуды гармоник в соответствии с (2.20) зависят от параметровU_mиU₀,а также от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная аппроксимация.Форма тока в цепи, со­держащей нелинейный элемент с характеристикой

(2.22)

на который подано напряжение

,

видна из построения на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент

с кусочно-линейной характеристикой

График тока имеет характерный вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Спектральный состав такого периоди­ческого процесса подробно изучался в гл. 2.

Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства

, откуда

Постоянную составляющую и амплитуды гармоник тока вычисляют по формулам

(2.24)

,

в которые входят соответствующие функции Берга .

Степенная аппроксимация.Пусть в окрестности рабочей точкиU₀вольт-амперная характеристика нелинейного эле­мента представлена в виде

(2.25)

приложенное к нелинейному двухполюснику напряжение

, (2.26)

Воспользовавшись известными формулами

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

путем подстановки (2.26) в (2.25) получаем

. (2.27)

Отсюда вытекают следующие соотношения для расчета постоянной составляющей тока и амплитуд гармоник:

(2.28)

.

Общее выражение при произвольном номере гармоники п таково:

. (2.29)

Показательная аппроксимация.В случае, когда ВАХ двух­полюсника аппроксимирована выражением

,

для вычисления спектра тока используют формулу

,

где — модифицированная функция Бесселяn-го индекса.

Если к нелинейному двухполюснику с экспоненциальной характеристикой приложена сумма напряжений смещения и гармонического сигнала, т. е. и=U₀ + U_mcoswt, то

Нелинейные искажения. Трансформация спектра входного сигнала в нелинейных цепях является чрезвычайно важным явлением. С одной стороны, на нем основана работа целого ряда радиотехни­ческих устройств (модуляторов, детекторов и т. д.). С другой, из-за нелинейности ха­рактеристик возникают некоторые нежелательные эффекты, которые необходимо оценивать и учитывать.

Для того чтобы количественно оценить степень искажения сигнала на выходе нелинейной цепи, вводят величину к_нл,называемуюкоэффициентом нелинейных иска­женийи равную отношению среднеквадратиче­ского уровня всех высших гармоник тока к амплитуде тока полезного сигнала:

. (2.31)

Безынерционные нелинейные преобразования суммы нескольких гармонических сигналов.Свойство нелинейной цепи обогащать спектр, создавая на выходе спектральные составляющие, первоначально от­сутствующие на входе, ярче всего проявляется, если входной сигнал представляет собой сумму некоторого числа гармо­нических колебаний с различными частотами. Эффект воз­никновения большого числа новых спектральных составляю­щих лежит в основе важных для радиотехники нелинейных преобразований сигналов.

Бигармоническое воздействие иа нелинейный элемент со сте­пенной характеристикой.Будем изучать нелинейный двухпо­люсник, вольт-амперная характеристика которого для конкрет­ности описывается многочленом 2-й степени:

. (2.38)

Приложенное напряжение помимо постоянной составляю­щей содержит два гармонических колебания с различными частотами и; амплитуды колебаний равныU_m1иU_m2 соответственно:

. (2.39)

Такой сигнал в радиотехнике принято называть бигармоническим воздействием.Он очень удобен для выяснения принципиальных особенностей преобразования спектра в не­линейных цепях.

Подставим сигнал (2.39) в формулу (2.38):

.

Выполнив элементарные тригонометрические преобразова­ния и сгруппировав члены, приходим к следующему спект­ральному представлению тока в нелинейном двухполюснике:

. (2.40)

Видно, что в составе тока присутствуют слагаемые, встречавшиеся ранее: постоянная составляющая, а также первые и вторые гармоники обоих источников входного сигнала. Принципиально новым является появление двух гармонических составляющих с частотами и. Амплитуды этих колебаний, равныеa₂U_mlU_m2,в одинаковой мере зависят от амплитуд входных сигналов и обращаются в нуль, если один из источников на входе отсутствует. Это свидетельствует о том, чтоиз-за нелинейности рассмат­риваемого двухполюсника в нем происходит взаимодействие колебаний, соответствующих отдельным гармоническим со­ставляющим входного сигнала.На рис. 2.7 изображена полная спектральная диаграмма тока в двухполюснике при­менительно к выбранному виду входного сигнала.

Влияние кубичного члена вольт-амперной характеристики.Несколько усложним задачу и будем считать, что в составе вольт-амперной характеристикиi(и)имеется кубическое сла­гаемое, которое обусловливает дополнительный ток

. (2.41)

Рис. 2.7. Спектральная диаграмма тока в нелинейном двухполюснике с вольт-амперной характеристикой, описываемой квадратичным многочленом (входной сигнал – бигармоническое колебание)

Подставив сюда сигнал (11.30), получим:

. (2.42)

Видно, что, с одной стороны, кубичное слагаемое не­сколько изменяет уровень амплитуд первых гармоник тока, имеющих частоты и. Существеннее, однако, появле­ние новых спектральных составляющих с частотами,,,,,.

Комбинационные частоты.Рассмотрим общую постановку задачи о воздействии нескольких гармонических сигналов с разными частотами на безынерционный нелинейный эле­мент.

Пусть к данному элементу приложено Мнапряжений сигналов, имеющих вид

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

По отношению к одному из этих источников, скажем, с частотой , нелинейный элемент представляет собой двух­полюсник, описываемый вольт-амперной характеристикой

. (2.43)

Выражение (2.43) представляет собой функцию М незави­симых аргументов ; по каждому из них функция периодична с периодом 2π,поэтому она может быть разложена в М-кратный ряд Фурье:

. (2.44)

Коэффициенты данного ряда

.

Функция — четная по каждому из аргу­ментов, поэтому ряд (2.44) фактически имеет вид

.

Амплитудные коэффициенты этого ряда не зависят от того, какие знаки (положительные или отрицательные) имеют индексы суммирования.

Полученное общее решение дает возможность представить ток в рассматриваемом двухполюснике как функцию вре­мени:

. (2.46)

Всевозможные частоты гармонических колебаний, входящие в формулу (2.46), называют комбинационными частотами:

. (2.47)

где п₁ ,п₂,...,п_м —любые целые числа, положительные и отрицательные, включая нуль.

Таким образом, спектр тока в безынерцион­ном нелинейном двухполюснике, находящемся под воздей­ствием нескольких гармонических сигналов с различными частотами, образован в общем случае бесконечной совокуп­ностью комбинационных частот вида (2.47).

Комбинационные частоты принято группировать, объеди­няя вместе все частоты, для которых

. (2.48)

Число Nназываютпорядком комбинационной частоты.

Можно заметить закономерность: слагаемое со степенью Nв вольт-амперной характеристике элемента дает комбина­ционные составляющие с предельным порядком, равным сте­пени этого слагаемого. При этом еслиN— четное число, то возникают комбинационные частоты четных порядков:N, N — 2, N — 4, ...вплотьдо N — 0(постоянная состав­ляющая). Если жеNнечетно, то порядки комбинационных частот также нечетны:N, N — 2, N- 4, ... вплоть доN= 1.

Эффекты, сопровождающие нелинейные преобразования не­скольких колебаний.

Возникновение комбинационных состав­ляющих в выходном сигнале безынерционного нелинейного преобразователя, а также зависимость амплитуд комбина­ционных колебаний на выходе от амплитуд сигналов на входе обусловливает ряд принципиально важных эффектов, с которыми приходится сталкиваться при построении радио­технических устройств и систем.

К числу таких явлений относится в первую очередь перенос модуляции с одной несущей частоты на другую.

Пусть, например, к входу нелинейного двухполюсника с кубической ВАХ

(2.49)

помимо постоянного напряжения смещения U₀приложена сумма двух напряжений: однотонального АМ-игналаи немодулированного

сигнала .

На основании формулы (2.42) убеждаемся, что составляю­щая тока с частотой имеет при этом амплитуду

. (2.50)

Видно, что рассматриваемая составляющая представляет Собой АМ-колебание, промодулированное частотами и 2. Налицо перенос модуляции с несущей частотына новую несущую частоту.

Из формулы (2.42) следует, что промодулированными по амплитуде окажутся также комбинационные колебания с частотами ,,и.

Описанное здесь явление в радиотехнике называют интермодуляцией.Следствием его может оказаться весьма ощутимое снижение работоспособности приемного устройст­ва, которое содержит нелинейный элемент, возбуждаемый несколькими сигналами. Если даже частоты этих сигналов существенно отличаются от номинальной рабочей частоты приемника, одна или несколько комбинационных частот могут попасть в полосу пропускания и быть приняты наравне с полезным сигналом.

Борьба с интермодуляционными сигналами — одна из составных частей работы по обеспечению электромагнитной совместимости (ЭМС) радиоэлектронных средств.

К интермодуляции близко примыкает явление, состоящее в том, что за счет нелинейного взаимодействия происходит усиление или подавление одного сигнала другим.Проиллюст­рируем это на примере нелинейного элемента с ВАХ вида (2.49). Пусть на входе действуют два смодулированных сигнала с различными частотами:и. Амплитуда токав соответствии с фор­мулой (2.50) существенным образом зависит не только, от «собственной» амплитудыU_m2,но и от амплитудыU_ml источника с частотой. Характер этой зависимости опре­деляется знаком коэффициента а₃. Еслиа₃ >0, то второй сигнал усиливается за счет энергии первого. Если же а₃< О, то, наоборот, наблюдается подавление одного сигнала другим.

Отметим, что нелинейное подавление всегда проявляется по отношению к более слабому сигналу.Сильная помеха может настолько подавить слабый полезный сигнал, что дальнейшее его усиление становится практически невозможным из-за шумов. Однако встречается и обратная ситуация — сильный полезный сигнал, взаимодействуя в нелинейном элементе приемника со слабой помехой, подавляет ее, так что качество приема улучшается.

Вопросы для самопроверки

1. В чем особенность прохождения измерительных сигналов через нелинейные цепи.

2. Как выглядит спектральный состав тока в безынерционном нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии.