2 Анализ прохождения измерительных сигналов через

радиоэлектронные цепи

2.1 Анализ прохождения измерительных сигналов через линейные цепи

Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 2.1) с передаточной функ­цией K(iw)и импульсной характеристикойg(t)действует случайный процессs(t)с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процессаs_BbIX(t)на выходе четырехполюс­ника.

Рис. 2.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами

В разделе 1 были рассмотрены основные характеристики случайного процес­са: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.

Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случай­ного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном

распределении процесса на входе отыска­ние распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.

Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом(усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функциииW(w). Поэтому, если зада­на плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)

,

то плотность вероятности на выходе линейной цепи

(2.1)

Дисперсия легко определяется по спектру или по кор­реляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских про­цессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.

Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спек­тра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение спра­ведливо при любом законе распределения вероятностей.

2.1.1 Спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе цепи

Содержание данного пункта ограничено рассмотрением стационар­ных случайных процессов.

Спектральную плотность входного процесса обозначим . Задача нахождениялегко решается с помощью рассуждений, аналогич­ных использованным при выводе выражения (1.152).

Умножив спектральную плотность «усеченной» реализации процессана передаточную функцию фильтра, получим спектральную плотность этой же реали­зации на выходе

.

Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить с по­мощью равенства Парсеваля

.

Тогда по аналогии с выражением (1.154) получаем:

. (2.2)

Корреляционная функция случайного процесса на выходе фильтра опре­деляется с помощью выражения (1.160):

Соотношения между характеристиками случайных процессов на входе и выходе цепи можно вывести также и на основе заданной импульсной ха­рактеристики цепи.

Действительно, поскольку спектральной функции соответствует корреляционная функция

, (2.4)

а спектральной функции К²(w)—

, (2.5)

т. е. корреляционная функция импульсной характеристики g(t), в которой нужноS²(w)заменить наK²(w), то произведе­нию спектральных функцийиK²(w)соответствует свертка функ­цийи

Таким образом, по заданным корреляционным функциям иопределяется корреляционная функция на выходе, после чего находится энергетический спектр

.

Особый интерес представляет случай , когда процесс на входе является белым шумом. В этом случае и в соответствии с (2.3) и (2.5)

. (2.7)

Выражение (2.7) можно применять и в тех случаях, когда энергетический спектр равномерен лишь в полосе прозрачности цепи.

И так, ни спектральный, ни корреляционный анализ прохождения ста­ционарного случайного процесса через линейную цепь с постоянными пара­метрами не связан с какими-либо трудностями.

Вопросы для самопроверки

1. Чему равен спектр сигнала на выходе линейной цепи.

2. Как определяется корреляционная функция выходе линейной цепи.