1.6.3 Связь между спектром сиг­нала s(t) и спектром базисной функ­ции φn (t)

Соотношение между спектром S(2πf)сигналаs(t) и спектромФ_n (2πf)базис­ной функцииφ_n(t)приΔt= 1/2f_mиллюстрируется рис. 1.25,а) и б).

Если взять интервал между выбор­ками Δt'меньшим Δt = 1/2f_m, то ши­рина 2f’_mспектраΦ_n^’(ω)функцииφ_n’(t)будет больше, чем у спектраS(ω)(рис. 1.25,в).Это повышает точность представления сигналаs(t),так как исключается возможность неучета «хвоcтов» спектраS(ω) вне граничных частотf_m;кроме того, ослабляются требования к АЧХ фильтра, восстанавливаю­щего непрерывный сигнал.

При увеличении же Δt"по сравне­нию с Δt(рис. 1.25,г)спектрΦ_n”(ω)функцииφ_n”(t)становится уже, чем спектр сигналаs(t), и при вычислении

интеграла в выражении (1.170) пределы интегрирования должны быть :вместо.Коэффициентыс_ппри этом являются уже выбор­ками не заданного сигналаs(t),а некоторой другой функцииs₁(t),спектр которой ограничен наивысшей частотой

Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t)конечна и равнаТ_с,а полоса частот по-прежнему равнаf_m.Эти условия, строго го­воря, несовместимы, так как функция конечной длительности обладает те­оретически бесконечно широким спектром. Однако практически всегда мож­но определить наивысшую частоту спектраf_mтак, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающихf_m, содержали пренебрежимо малую долю энергии по сравнению с энергией исходного сиг­налаs(t). При таком допущении для сигнала длительностьюТ_сс полосой частотf_mобщее число независимых параметров [т. е. значенийs(nΔt)], которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно, будет

При этом выражение (1.166) принимает следующий вид (при отсчете времени от первой выборки):

(1.171)

Число Nиногда называютчислом степеней свободы сигналаs(t),так как даже при произвольном выборе значенийs(nΔt) сумма вида (1.171) определяет функцию, удовлетворяющую условиям задан­ного спектра и заданной длительности сигнала. ЧислоNиногда называют такжебазойсигнала.

1.6.4 Восстановление сигналов по их отсчётам

В соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчётов)любой сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчётам, взятымчерез интервалT_д1/(2F_max), гдеF_max– максимальная частота спектра сигнала.

В справедливости теоремы Котельникова легко убедиться, рассмотрев рис. 1.23, в, г, д. Еслиf_д2 F_max(рис.1.23в, г), то после подачи дискретного сигнала ко входу идеального ФНЧ с частотой срезаF_maxF_срf_д–F_maxна выходе получим сигнал со спектромS(f) (рис. 1.23,в, г), то есть восстановленный непрерывный сигнал. На рисунках штриховыми линиями показаны АЧХ идеального ФНЧ с частотой срезаF_ср =F_max. Если жеf_д< 2F_max, то, как видно из рис. 1.23,д, невозможно выделить спектрS(f), поскольку имеет место перекрытие спектров.

Процесс восстановлениянепрерывного сигнала по его отсчётам можно трактовать и во временной области. Если для восстановления сигнала используется идеальный ФНЧ с частотой срезаF_ср, то его импульсный отклик (без учета задержки в фильтре):

g(t) =.

Поскольку отсчетные импульсы короткие (<<T_д) (приближаются к-функции), то можно считать, что отклик ФНЧ на импульс с амплитудойs(kT_д), поданный в моментt =kT_д, имеет вид

s(k T_д) =.

Если подать ко входу ФНЧ сигнал s_д(t), на его выходе получим сумму откликов

= .

Сравним это выражение с рядом Котельникова, что есть математическим выражением теоремы Котельникова,

s(t) =.

Если F_ср =F_max, тоs(t) =(t), то есть имеет место точное восстановление непрерывного сигнала.