1.4.3 Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала

Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной мо­дуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному за­кону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал а(t) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляю­щие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой ω₀ полосе.

При представлении подобных сигналов в форме

a(t)=A(t)cosψ(t)(1.110)

возникает неоднозначность в выборе функций A(t) и ψ(t), так как при лю­бой функции ψ(t) всегда можно удовлетворить уравнению (1.197) надлежа­щим выбором функции А(t).

Так, простейшее (гармоническое) колебание

a(t) = A₀ cosω₀t (1.111)

можно представить в форме

a(t)=A(t)cos ωt, (1.112)

где ω = ω ₀ +∆ ω.

В выражении (1.112) огибающая A(t) в отличие от А₀ является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функ­ции a(t)

откуда

.(1.113)

Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ψ(t) (ωt вме­сто (ω₀t) очень усложнилось выражение для A(t), причем эта новая функ­ция

А (t) по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую a(t) (вместо касания в точках, где a(t) имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может при­вести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении ра­боты амплитудного детектора).

Неопределенности можно избежать при представлении A(t) и ψ(t) с помощью следующих соотношений:

. (1.114), (1.115)

где a₁(t) — новая функция, связанная с исходной соотношениями

(1.116), (1.117)

Эти соотношения называются преобразованиями Гиль­берта, а функция a₁(t) — функцией, сопряженной (по Гильберту) ис­ходной функции a(t).

Для выяснения смысла выражений (1.114), (1.115), а также требования, чтобы a₁(t) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функ­ции a(t), рассмотрим сначала некоторые свойства A(t), и справедливые при любой функции а₁(t).

Прежде всего мы видим, что в точках, где функция а₁(t) равна нулю, имеет место равенство A(t) = a(t).

Дифференцируя (1.114), получаем

.

Отсюда видно, что при а₁ = 0, когда A(t) =a (t), имеет место дополни­тельное равенство

.

Следовательно, в точках, в которых а₁(t) = 0, кривые A(t) и а (t) имеют общие касательные.

Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать A (t) как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции a (t). Необходимо потребовать, чтобы кривая А(t) касалась кривой а(t) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близ­кое к нему значение. Иными словами, в точках, где а₁(t) обращается в нуль, функция а(t) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это ус­ловие как раз и обеспечивается, если функция а₁(t) является сопряженной по Гильберту функции а(t). Это свойство преобразований Гильберта на­гляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала.

Пусть a(t) = cos ω₀t, .Найдем сопряженную функцию а₁(t). Применяя общее выражение (1.116) и переходя к новой переменной х = τ - t, находим

.

Известно, что(в смысле главного значения) и

Следовательно, функции а(t) = cosω₀t соответствует сопряженная функция а₁(t) = sinω₀t, которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетруд­но убедиться, что функции a(t) = sinω₀t,,соответствует сопряженная функция а₁(t) = - cosω₀t.

Подставляя а(t) = cosω₀t и a₁(t) = sinω₀t в выражение (1.114), полу­чаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение

.

Аналогичный результат получается и для а (t) = sinω₀t, а₁(t) =- cosω₀t.

Как видим, выражение (1.114) определяет огибающую в виде линии, ка­сательной к исходной функции в точках ее максимума и в случае гармониче­ского колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение (1.114) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выражения (1.114) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале.

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных состав­ляющих

.(1.118)

то сопряженная функция

. (1.119)

Ряд (1.118) называется рядом, сопряженным ряду (1.119).Если сигнала(t) представлен не рядом (1.118), а интегралом Фурье

, (1.120)

то функцияа₁(t) может быть представлена в виде интеграла

, (1.121)

сопряженного интегралу (1.120).

Нетрудно установить связь между спектрами функций a(t) и а₁(t).Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность S₁(ω) сопряженной функции а₁(t) не может отличаться от спек­тральной плотности S (ω) исходной функции а (t). Фазовая же характеристи­ка спектра S₁(ω) отличается от ФЧХ спектра S(ω). Из сопоставления вы­ражений (1.120) и (1.121) непосредственно вытекает, что спектральные состав­ляющие функции а₁(t) отстают по фазе на 90° от соответствующих состав­ляющих функции а(t). Следовательно, при ω> 0 спектральные плотности S₁ (ω) и S (ω) связаны соотношением

. (1.122)

В области отрицательных частот соответственно получается

. (1.123)

Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция а₁(t) по своей форме может сильно отличаться от исходной функции a(t).

После того как найдена сопряженная функция а₁(t), можно с помощью выражений (1.2114), (1.115) найти огибающую A(t), полную фазу ψ(t) и мгно­венную частоту узкополосного сигнала

.(1.124)

Выделив в найденной таким образом частоте ω (t) постоянную часть ω₀, можно написать выражение

, (1.125)

в котором θ(t)не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала ω₀ и соответственно функции θ(t).