Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

(18.84)

где а — амплитуда колебаний скорости x = рβ . Амплитуда колебаний самого угла р при этом, очевидно, будет

Выражение (18.84) представляет собой известную формулу линеаризации сухого трения с помощью вибраций. Найдем условия, при которых она здесь справедлива. Согласно

(18.81) и (18.82) имеем

откуда

(18.85)

что и является условием, при котором справедливо дальнейшее решение. Характеристическое уравнение всей замкнутой системы согласно (18.82), (18.84) и (16.53) получает вид

После подстановки р = jw получаем

(18.86)

Чтобы исследовать влияние коэффициента k на динамику системы, выразим из этих двух уравнений величины k и ап через wп:

(18.87)

Заметим, что ап= ∞ при

(18.88)

Изменяя wп в интервале (wп)гр < wп <+ ∞, строим по формулам (18.87) график ап = f(k), представленный на рис. 18.16, б. Условие, при котором справедливо это решение, было выражено неравенством (18.85). Подставив в него значения а = ап и w= const (18.87), приводим его к виду

(18.89)

где

Для исследования устойчивости найденного периодического решения на основании

(18.86) находим

Критерий (18.63) при этом не выполняется, что означает неустойчивость найденного периодического решения. Это и показано условно вертикальными стрелками на рис. 18.16, б.

Легко проверить, что значение kгр (18.88) совпадает с границей устойчивости линейной системы без сухого трения. Следовательно, добавление сухого трения несколько расширяет область устойчивости системы, но весьма своеобразно, а именно; неустойчивость найденного периодического решения означает, что при k>kгр и при

Граничные значения wп и k совпадают здесь с прежними (18.88), но они соответствуют уже не ап = ∞, а ап = 0. В результате получаем график для определения амплитуды и частоты периодического решения, изображенный на рис. 18.17, б. Поскольку здесь

то критерий (18.63) выполняется. Поэтому найденное периодическое решение устойчиво. Следовательно, квадратичное трение приводит к автоколебаниям в той области параметров, где система без этого добавочного трения была бы неустойчивой. Это объясняется усилением демпфирующего действия квадратичной силы трения при увеличении амплитуды (и скорости) колебаний, что препятствует неограниченному раскачиванию системы. Заметим, что переход закона сопротивления движению объекта от линейного к квадратичному при больших скоростях отражает реальные явления. Амплитуда и частота автоколебаний определяются здесь графиком рис. 18.17, б или формулами (18.92), причем амплитуда колебаний угла β будет аβ = ап/wп.

Пример 4. Пусть в той же следящей системе требуется учесть влияние зазора в механической передаче между двигателем и управляемым объектом (схематически он показан на рис. 16.20) при линейной характеристике двигателя и при линейном трении. В колебательных процессах, которые здесь рассматриваются, зависимость между углами поворота β (после зазора) и b (до зазора) будет иметь нелинейный вид, показанный на

рис. 16.20, б, где b— половина ширины зазора. Кроме этой нелинейной зависимости здесь присутствует вторая нелинейность (16.54). Полагая, что момент инерции управляемого объекта J1 велик по сравнению с приведенным моментом инерции двигателя, будем считать в уравнении (16.54) Т1 = 0.

Первая нелинейность (рис. 16.20, б) после гармонической линеаризации при β 1=a sinwt согласно формуле (18.30) принимает вид

(18.93)

где q(а) и q'(а) определяются по формулам (18.27), в которых надо считать k = 1 (так как характеристика рис. 16.20, б имеет наклон 45е), а именно

(18.94)

причем

(18.95)

Вторую нелинейность (16.54) запишем в виде F(р2 β 1, рβ 1) = k1iя. Она подвергается гармонической линеаризации по формулам (18.11) также при β = а sinwt.

Следовательно, после подстановки р = jw получим

Для исследования влияния параметра k на собственные колебания данной системы выразим величину k из каждого уравнения по отдельности;

(18.97)

(18,98)

Задаваясь разными значениями а = ап, для каждого из них по этим уравнениям строим две кривые k(w) (рис. 18.19, б). Точка их пересечения дает соответствующие значения ап и k. В результате можно построить графики (рис. 18.19, в и г) зависимостей амплитуды ап и частоты wп периодического решения от параметра k (каждое построение на рис. 18.19, б дает по одной точке на каждом из графиков рис. 18.19, в и г).

При а = ∞, как видно из рис. 18.19, а, имеем q(а) = q2(а) = 1 и q1(а) = 0. Поэтому из выражений X (wп) = 0 и У (wп) = 0 находим:

причем вдоль кривой на рис. 18.19, в частота wп изменяется в интервале 0< wп< (wп)гр. Пример 5. Пусть имеется релейная система регулирования температуры (рис. 1.35), описываемая согласно § 16.1 уравнениями (с дополнительным учетом постоянной времени привода Т3):

где х — ток в диагонали моста (управляющей обмотке реле), а F(х) — характеристика реле, изображенная на рис. 18.20, а. В следующем примере произведем также учет не гистерезисного, а временного запаздывания реле.

Гармоническая линеаризация характеристики реле рис. 18.20, а согласно формулам (18.9)

и (18.15) дает

где

(18.99)

На основании написанных уравнений получаем следующее характеристическое уравнение данной замкнутой системы:

где

Отсюда после подстановки р = jw получаем выражения:

(18.100)

Исследуем влияние параметра k на устойчивость и автоколебания данной системы.

Из (18.100) имеем

(18.101)

откуда после, подстановки (18.99) находим

(18.102)

где

Тогда из второго уравнения (18.100) с учетом (18.99) получаем

На основании формул (18.102) и (18.103) можно построить графики для амплитуды ап в зависимости от параметра k по точкам, соответствующим различным значениям частоты wп, как это делалось в предыдущих примерах. При этом, исходя из положительности k, согласно (18.103) нужно задавать значения wп в интервале

(18.104)

Рассмотрим частные случаи.

Пусть реле имеет характеристику вида рис. 18.20, б, где b1 = b2 = b. Для этого случая из (18.99) получаем:

(18.105)

Поэтому второе из уравнений (18.100) дает постоянное значение частоты периодического решения

(18.106)

Подставляя его в первое уравнение (18 100), с учетом (18.105) находим

(18.107)

Здесь b= ∞ в двух случаях: ап = b и ап = ∞. Найдем kmin из условия равенства нулю производной k по ап

(18.108)

при aп = b 2

Соответствующий график зависимости амплитуды ап от параметра k изображен на рис. 18.21, а. В этом частном случае релейной характеристики (рис. 18.20, б) для исследования устойчивости воспользуемся критерием (18.63), для которого предварительно находим:

Следовательно, нижняя ветвь кривой на рис. 18.21, а соответствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя — устойчивому (автоколебания).

Пусть в другом частном случае характеристика реле имеет идеальный вид (рис. 18.20, в), т.е. b1 = b2 = b = 0. Здесь получается прежнее постоянное значение wп (18.106) и согласно (18.107) — прямолинейная зависимость

(18.109)

Далее, в третьем гистерезисная (рис. 18.20, г), т. е. изображенная на рис. 18.21, б. Здесь возможен только автоколебательный процесс; область устойчивости равновесного состояния, имевшаяся на рис. 18.21, а, пропадает.

Как видим, зона нечувствительности имеет стабилизирующее значение для релейной системы автоматического регулирования, причем ширина области согласно (18.108) пропорциональна ширине зоны нечувствительности 2b. Сравнение данного решения, учитывающего инерционность регулятора Т3, с решением без учета Т3 показывает принципиальную важность учета этого фактора. Например, для характеристики вида рис. 18.20, в без учета Т3 получится только устойчивость (ап=0) при любых числовых значениях параметров (что нереально), а с учетом Т3 — только автоколебания (рис. 18.21, б). Для характеристики вида рис. 18.20, б вместо неограниченной области устойчивости (без учета Т3) получается ограниченная и возникает еще область автоколебаний с большой амплитудой при одновременном существовании устойчивости в малом

(рис.18.21, а).

Далее в третьем частном случае, когда характеристика реле чисто гистерезисная

(18.110)

При этом из (18.102) находим

(18.111) а из (18.103)

(18.112)

По этим формулам построены кривые на рис. 18.21, в ж г, определяющие амплитуду и частоту периодического решения в зависимости от величины параметра k. Устойчивость периодического решения определим здесь по методу осреднения периодических коэффициентов.

Для вычисления коэффициента χ (а) согласно (18.60) нужно знать производную от U по х,

которая, однако, обращается в бесконечность при х = b, когда рх>0, и при х = -b, когда рх <0. Чтобы избежать этого, заменим заданную характеристику (рис. 18.20, г) новой (рис. 18.22, а), из которой заданная получается предельным переходом h →0 (другой способ, с дельта-функцией, см. в § 18.5, рис. 18.37). Для характеристики на рис. 18.22, а при

изменении величины х по закону х =а sinwt(рис. 18.22, б) производная ∂dtU принимает значения, показанные на рис. 18.22, в, где

(18.113)

Осредненное ее значение (18.60) согласно рис. 18.22, в с предельным переходом к заданной характеристике ( h →0) будет

Обозначив ψ 2 =ψ1 + ∆ψ и взяв производные от числителя и знаменателя по ∆ψ , получим:

(18.114)

Итак, для исследования устойчивости получаем следующее характеристическое уравнение:

(18.115)

Условие устойчивости периодического решения, следовательно, по критерию Гурвица будет

Подставив сюда χ (а) из (18.114) и значения aп2 и k из (18.111) и (18.112), убедимся, что

оно выполняется. Следовательно, в системе будут устойчивые автоколебания х = ап sinwпt, амплитуда и частота которых определяются графиками рис. 18.21, в и г или формулами (18.111), (18.112).

Пример 6. Пусть в той же системе характеристика реле имеет простейший вид рис. 18.20, в, но имеется постоянное по времени запаздывание т. Тогда согласно (18.110), где b = 0, уравнение нелинейного звена будет

В результате получим характеристическое уравнение системы

Подстановка р = jw с учетом выражения e− jτw = cosτw − j sinτw даст два уравнения:

из которых находим два соотношения:

Первое из них определяет частоту (решается графически), а второе — амплитуду автоколебаний в зависимости от коэффициента усиления регулятора k и от других параметров системы.

Заметим, что во всех случаях, рассмотренных в примере 5 и в данном примере релейной системы, через ап обозначалась амплитуда автоколебаний величины х. Амплитуда же автоколебаний аθ регулируемой величины θ (температуры) будет

Пример 7. Рассмотрим систему автоматического регулирования приводом регулирующего органа в виде двухфазного двигателя переменного тока. Характеристика этого двигателя для разных значений управляющего напряжения U имеет вид, представленный на рис. 18.23, а.

Линеаризуя характеристики, обычно считают

(18.116)

Но это справедливо в первом приближении только для левого участка характеристики. Если же используется большая часть характеристики, то необходимо учесть ее нелинейность. Имея в виду, что на рис. 18.23, а с увеличением wдв коэффициент а уменьшается, а коэффициент с1 увеличивается, примем для описания этой характеристики вместо (18.116) следующее нелинейное выражение:

(18.117)

(абсолютные значения wдв в коэффициентах поставлены потому, что wдв меняет знак, а

сами коэффициенты должны оставаться положительными числами). Аналогично можно подбирать и любой другой более подходящий нелинейный закон для описания характеристик двигателя. Введем для дальнейшего обозначение

(18.118)

Тогда дифференциальное уравнение двигателя

где J - момент инерции всех вращаемых двигателем масс, приведенных к валу двигателя, можно записать в виде

(18.119)

Здесь имеем три нелинейные функции:

Гармоническая их линеаризация по правилам § 18.1 дает:

Подставляя это в (18.119), получаем следующее уравнение двухфазного двигателя (для колебательных процессов):

(18.120)

вместо обычного линейного (T3p+1)x=k3U, где

(18.121)

Здесь а обозначает амплитуду колебаний угловой скорости двигателя х = wдв.

Далее, скорость перемещения регулирующего органа рξ с учетом передаточного числа редуктора и с обозначением (18.118) будет

(18.122)

Уравнение регулируемого объекта и уравнение чувствительного элемента регулятора возьмем соответственно в виде