,Теоретический минимум по курсу "Линейной алгебры и аналитической геометрии"
Определение матрицы. Сложение, вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование матриц. Свойства операций над матрицами.
Матрица – математический объект, имеющий вид таблицы. Обозначается латинскими буквами A, B, C… а элементы соотв. Маленькими с индексами i(строка), j(столбец). n-m размерность матрицы.
Треугольная – элементы выше или ниже г. диагонали Диагональная – все кроме г. диагонали 0.
Единичная – диагональная из единиц. Равенство – очевидно.
Сложение – почленно. A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+0=A;
Умножение на число – почленно; k(nA)=knA; k(A+B)=kA+kB;
Умножение матриц – строка на столбец и складывается; A*B!=B*A; (A*B)*C=A*(B*C); A*(B+C)=A*B+A*C; A*E=E*A=A; detAB=detAdetB;
Транспортирование – замена строк на столбцы. (At)t=A; (A+B)t=At+Bt; (A*B)t=At*Bt; Et=E;
Определители второго и третьего порядков. Основные свойства определителем.
detA= это скалярная характеристика матрицы определяемая видом a11*a22-a12*a21;
Свойства:
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
Минор элеменета aij– матрицы 3-его порядка называется определитель м. второго порядка, полученной вычеркиванием i строки b j столбца.
Дополнение – минор умноженный на (-1)^(i+j)
Определитль – разлаживаем по строке/столбцу и все ок.
Алгебраические дополнения и миноры определителя п -го порядка.
Вычисление определителя разложением по алгебраическим дополнениям строки или столбца.
Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований.
к теругольному виду кактаешь его
[23:33:11] Tronok: а потом делаешь перемнолжение элементов главной диагрнали
(авторитетное мнение!!!)
Определение обратной матрицы. Формула для вычисления.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
CT — транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A−1 и будет обратной.
Определение ранга матрицы.
Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Элементарные преобразования матриц. Вычисление ранга матрицы.
Для того что бы найти ранг матрицы можно использовать метод окаймления миноров. Суть его заключается в нахождении миноров, начиная с низших и двигаясь к более высоким порядкам. Если миноры более высоких порядков, например n+1 равны 0, при условии, что минор n-го порядка не равен 0, то ранг будет равен n.