1. Основные логические символы и операции.

Логические символы

• Квантор   - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

• Квантор   - заменяет выражение "существует", "найдется".

• Запись   (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем  . Если  , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

• Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем  . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем  .

2. Определение функции и последовательности.

Функция – если в силу некоторого правила каждому элементу х ставится в соответствие один элемент у, то говорят, что на множестве х заданная функция y=f(x);

• явная

• неявная

• параметрическая

• в полярных

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

3. Определение пределов - последовательности, функции в конечной и бесконечно удаленной точке, определение

Предел последовательности – A предел, если для любого ε>0, существует такое N, зависящее от ε, что для всех членов послед. номер которых >N

|U_N-A|<ε

Функции – А предел, если если для любого ε>0, существует такое σ, зависящее от ε, что x0 принадлежит U(проколотой) σx0 |f(x)-A|< ε

4. Уметь вычислять при различных соотношениях степеней.

5. Определение бесконечно малой и бесконечно большой. Эквивалентные бесконечно малые Таблица эквивалентных бесконечно малых.

j(x) – бесконечно малая в х0, если предел в этой точке = 0;

А(х) – бесконечно большая в х0, если предел в этой точке равен овер 9000;

если j(x) б. малая, то 1/j(x) – б. большая.

предел отношения j(x)/b(x) =

1. 0 – 1-ая большего порядка малости чем вторая.

2. const – одинаковый порядок малости.

3. если lim(j(x)/(b(x))^k)=const, то j(x) имеет k-ый порядок малости к б(х)

4. 1 – экваивалентные

sinx~arcsinx~tgx~arctgx~x

e^u-1~u

a^u-1~u*lna;

ln(1+u)~u

(1+u)^j-1~ju

при насчитывание отношение и произведение можно заменять.

6. Первый и второй замечательный предел. Следствия. Правило Лопиталя.

Следствиями является таблица б. малых.

7. Определение непрерывной функции. Типы разрывов. Дифференцируемая и недифференцируемая функции.

Непрерывна в х0, если определена в этой точке и имеет оба предела(лев/прав), и они равны.

Типы разрывов- устранимые, неустранимые:

Устранимые – функция не определена, односторонние пределы равны и равны конечному числу. Можно устранить, доопределив.

Неустранимые:

1 род (скачок) – разные односторонние пределы

2 род – хотя бы один из односторонних равен +-овер9000 или не существует.

Односторонне непрерывна – с одной стороны предел равен функции.

Элементарные функции непрерывны на все области определения. Можно выносить за предел.

Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке)

8. Теоремы Вейрштрасса (1 и 2) и Коши (1) о непрерывных функциях.

В1- непрерывная функция на отрезке ограничена

В2-непрерывная функция на отрезке принимает наибольшее и наименьшее значение.

Коши1-непрерывная функция на отрезке с разными знаками обращается в 0 хоть в одной точке

Коши2-непрерывная на отрезке. Если принимает а,б- то принимает и промежуточные значения.

9. Определение и геометрический смысл производной. Таблица производных и правила дифференцирования.

Производная- приращение функции к приращению аргумента, стремящегося к 0;

Тангенс угла наклона

Скорость изменения функции.

Таблица и правила в тетрадке.

10. Необходимое и достаточное условия экстремума. Определение максимума и минимума функции. Признаки возрастания и убывания функции на промежутке.

Пусть дана функция   и   — внутренняя точка области определения f. Тогда

• x₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность   такая, что

• x₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность   такая, что

Если неравенства выше строгие, то x₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• x₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

• x₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f(x₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

11. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Определение и признаки

Точка перегиба - место, которое отделяет выпуклую часть от вогнутой.

Выпуклая (выпукла вверх) – лежит ниже касательно.

Вогнутая (выпукла вниз) – лежит выше касательной.

Выпуклая на отрезке – если вторая производная <0

Вогнутая на отрезке – если вторая >0;

12. Ассимптоты их виды и нахождение.

Прямая линия называется асимптотой, если расстояние от точки графика функции до точки это прямой стремится к нулю, при отдаление от начала координат.

Горизонтальные и вертикальные.

y=kx+b

k=предел f(x)/x;

b=предел f(x)-kx;

если к=0 горизонтальная

если к=овер900 вертикальная.

13. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

y-y0=f’(x0)(x-x0)

y-y0=(-1/f’(x0))(x-x0)

14. Определение дифференциала. Таблица дифференциалов.

Линейная часть приращения функции относительно дельта х;

f’(x0) x=dy;

y=dy+j(x0) x

15. Уметь находить производную сложной функции.