Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис. 16.3, а, то равновесное состояние (х = 0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рис. 16.3, а колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.

На рис. 16.3, бив показаны случаи, когда равновесное состояние (х = 0) системы устойчиво «в малом», т. е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны).

На рис. 16.3, г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние (х = 0), 2) колебания с постоянной амплитудой а1 3) колебания с постоянной амплитудой а2. При этом колебания с амплитудой а1 неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х = 0, а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а2. Пример. Для иллюстрации особенностей нелинейной системы исследуем переходный процесс и автоколебания в релейной системе автоматического регулирования температуры, изображенной на рис. 1.35. Для этого составим сначала уравнение регулируемого объекта и регулятора.

Пусть регулируемый объект представляет собой некоторую камеру. Учитывая инерционность процесса нагрева и охлаждения, запишем уравнение регулируемого объекта в виде

где θ — отклонение температуры, ϕ ф — отклонение регулирующего органа, f(t) —

внешние возмущения.

При отклонении температуры θ появляется ток в диагонали моста того или иного направления (рис. 1.35) и замыкается тот или иной контакт реле 3, включающего постоянное напряжение в ту или иную обмотку возбуждения 4 электродвигателя 5. Приняв во внимание некоторое отставание в этом процессе включения, получим релейную характеристику вида г) рис. 1.36. Далее, считая, что ток I пропорционален

отклонению температуры объекта θ , а скорость ddtϕ отклонения регулирующего органа 6

пропорциональна напряжению на обмотках возбуждения электродвигателя, можно в данном случав выходной величиной для указанной релейной характеристики считать

прямо ddtϕ , а входной — θ (рис. 16.4, а).

Следовательно, уравнение регулятора запишется здесь следующим образом:

(16.10)

(16.11)

Рассмотрим два произвольных участка переходного процесса (при f(t) = 0) в данной системе (участки АВ и ВD на рис. 16.4, б).

На участке АВ уравнение регулятора согласно рис. 16.4, в будет ddtϕ = +с.

Дифференцируя (16.9) по t и подставляя туда +с, получаем при f(t) =0 следующее уравнение системы регулирования на участке АВ:

(16.12)

а на участке ВD

(16.13)

Решение уравнения (16.12) будет

(16.14)

откуда получаем

(16.15)

Условимся для простоты отсчитывать время t от начала участка АВ (рис. 16.5, а). Тогда начальные условия будут

где θ А пока неизвестно. Используя начальные условия, находим произвольные постоянные для уравнения (16.15):

(16.16)

Аналогично для участка ВD согласно (16.13), отсчитывая время I тоже •от начала этого участка (рис. 16.5, б), получим решение

(16.17)

Все остальные участки кривой переходного процесса будут определяться, очевидно, такими же решениями, но только с другими числовыми значениями величин С1, С2,

θA , С'1, С'2, θB . Заметим, что величины θA и θB , необходимые для определения произвольных постоянных, находятся как значения θ в конце предшествующих им

участков. Поэтому, если будет задана величина θ в начальной точке первого участка процесса, то все вышенаписанное решение для переходного процесса в системе станет определенным. Такой метод решения задачи называется методом припасовывания.

Выясним теперь, возможны ли в данной система автоколебания, т. е. устойчивое периодическое решение. Для этого нужно, очевидно, чтобы в конце D одного периода

колебаний (рис. 16.4, б) получились точно такие же значения θ и θ , какие были в начале его А. Легко заметить, что при этом оба полупериода (АВ и ВВ) должны быть одинаковыми вследствие симметрии характеристики (рис. 16.4, а). Поэтому для определения автоколебаний достаточно рассмотреть только один участок АВ и потребовать, чтобы

(16.18)

Обозначив период искомых автоколебаний через 2T, а длительность участка АВ, следовательно, через Т, из (16.14) найдем

Подставляя сюда (16.18) и замечая, что из (16.16) θA =C1-k1c получаем выражение

(16.19)

в котором содержатся две неизвестные; С1 и Т. Величину Т (длительность участка АВ) можно выразить из (16.15), так как известно, что в конце участка θ = -b. Из (16.15) и (16.16) при этом находим

Подставив сюда значение С1 из (16.19), получим уравнение для определения полупериода автоколебаний:

(16.20)

Это трансцендентное уравнение для Т легко решается графически (рис. 16.6) пересечением двух кривых:

Если найдено вещественное положительное значение для T, то это свидетельствует о наличии периодического решения в данной системе. Чтобы доказать, что это

соответствует автоколебаниям, нужно исследовать их устойчивость, т. е. показать, что в переходном процессе система ведет себя, как изображено на рис. 16.3, а, но не так, как на рис. 16.3, б. Это будет показано ниже.

Амплитуда найденных автоколебаний определяется как 8тах на участке АВ (рис. 16.5, а) путем исследования функции (16.15) на максимум обычным путем.

Фазовое пространство. Для наглядного представления о сложных нелинейных процессах регулирования часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается в следующем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования n-го порядка можно преобразовать к системе n дифференциальных уравнений первого порядка в виде

(16.21)

с начальными условиями

где x1, x2, . . ., хn — переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем хг может обозначать регулируемую величину, а х2, . . ., хn — вспомогательные переменные; f и g — возмущающее и задающее воздействия. Пусть, например, в уравнениях (16.21) будет n = 3 (система третьего-порядка). Переменные х1, х2, х3 здесь могут иметь любой физический смысл. Но условно их можно представить мысленно как прямоугольные координаты некоторой точки М (рис. 16.7, а).

В реальном процессе регулирования в каждый момент времени величины х1, x2, х3 имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве (рис. 16.7, а). С течением времени в реальном процессе величины х1, х2, х3 определенным образом изменяются. Это соответствует определенному перемещению точки М в пространстве по определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения системы в процессе регулирования.

Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называете фазовой траекторией, а пространство (х1, х2, х3) называется фазовым пространством.

Так как производные по времени от координат точки представляют проекции ее скорости υ на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (16.21) представляют собой выражения для проекций скорости υ ; изображающей точки М (рис. 16.7, а) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений (16.21) в каждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки М, а вместе с тем и о поведении соответствующей реальной системы в процессе регулирования.

Начальные условия процесса регулирования (х10, х20, x30)-определяют координаты начальной точки фазовой траектории М0 (рис. 16.7, а).

Если переменных в уравнениях (16.21) будет всего две: х1 и х2 (система второго порядка), то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (фазовая плоскость).

Если переменных будет любое число n > 3 (система n-то порядка), то фазовое пространство будет не трехмерным, а n-мерным.

Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь геометрический образ динамических процессов, протекающих в системе. В этом! геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время. Фазовая траектория сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки (а значит, и состояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений (16.21) во времени.

Если уравнения (16.21) составлены в отклонениях от установившегося состояния, то последнее характеризуется значениями х1 = х2 = . . . = хn=0. Следовательно, изображением установившегося состояния системы является начало координат фазового пространства. Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будут асимптотически приближаться к началу координат при неограниченном увеличении времени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат.

Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше, фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания. Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области ε , окружающей начало координат фазового пространства (рис. 16.7, б), будут асимптотически приближаться к началу координат. Если устойчивость неасимптотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри определенной области η вокруг начала координат

фазового пространства, могут иметь любые очертания, но не будут выходить за пределы некоторой определенной области ε , окружающей начало координат (рис. 16.7, б}.

Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение

(установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области ε (рис. 16.7, б) можно найти такую область η , что при начальных условиях,

расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходный процесс) будет таким, что изображающая точка не выйдет из области ε при любом сколь угодно большом значении времени t.

В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпунову будет следующей. Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, если при заданных положительных сколь угодно малых числах εi можно найти такие

положительные числа ηi , (i = 1, . . ., n), что при начальных условиях

(16.22)

решение дифференциальных уравнений возмущенного движения (переходного процесса) удовлетворяет неравенствам

при любом сколь угодно большом I, начиная с некоторого t= Т > 0.

Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (16.22) получается n-мерный параллелепипед со сторонами 2ηi внутри

которого должна лежать начальная точка фазовой траектории М0 (х10, х20, . . ., хn0). На фазовой плоскости (n= 2) он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе из

с постоянной амплитудой А и начальной фазой β , которые зависят от начальных условий. Для фазовой плоскости уравнения (16.26) представляют собой

параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wА (рис. 16.8, б). Уравнение эллипса

можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (16.25) при а1 = 0 и а2 = w2, причем А — произвольная постоянная интегрирования.

Итак, периодическим колебаниям системы (рис. 16.8, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой (рис. 16.8, б).

Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями), как известно, имеют место затухающие колебания (рис. 16.9, а)

где

а произвольные постоянные A и β определяются из начальных условий:

Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.9, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку М0, а подходит ближе к началу координат.

Итак, затухающим колебаниям системы (рис. 16.8, а) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис. 16.9,

б).

Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (рис. 16.10, а). Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траекторий тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 16.10, б).

Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу

(16.27)

где

На рис. 16.11, а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (х, у) это изобразится кривыми 1 ж 2 соответственно (рис. 16.11, б), так как в первом варианте все время х > 0 и у < 0, а во втором варианте знаки x и y меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые у = -а1x и у = -а2x, получающиеся из уравнений (16.27) соответственно при а2 = 0 и при а1 = 0 (обращение одного из корней в нуль).

В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат 0 фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.

Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.

Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.27), но при a1 < 0 и а2 < 0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.12.

Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (16.27) (рис. 16.13, а), где a1 и а2 имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная. Так как а2 < 0, то введем обозначение а2 = -а2, причем для

простоты построений рассмотрим случай a1 = 0, что соответствует согласно (16.23)

т. е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.13, б.

Направления движения изображающей точки М по фазовым траекториям, показанные на рис. 16.13, б, легко определяются в каждой четверти плоскости по знаку dydx (16.28).

Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при а1 ≠ 0. Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории

типа рис. 16.12, б или типа рис. 16.13, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию, получаем согласно (16.25) неопределенное выражение

т. е. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особыми точками, причем существует следующая классификация для них:

а) особые точки типа точки О на риc. 16.8, б называются центрами, б) особые точки типа рис. 16.9, б называются устойчивыми фокусами,

в) особые точки типа рис. 16.10, б называются неустойчивыми фокусами, г) особые точки типа рис. 16.11, б называется устойчивыми узлами,

д) особые точки типа рис. 16.12, б называются неустойчивыми узлами, е) особые точки типа рис. 16.13, б называются седлами (седло всегда неустойчиво).

Особые линии для нелинейных систем. Реальные системы автоматического регулирования можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии. За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной.

В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т. е. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» устойчивые колебания определенной формы).

Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 16.14, а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе (рис. 16.10, б), но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на рис. 16.14, а. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это соответствует картине процессов во времени, изображенной на рис. 16.3, а. Такого вида замкнутый контур, представляющий собой наиболее важный для теории регулирования тип особых линий на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом.

Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла А и В (рис. 16.14, а) представляют амплитуды колебаний самой

величины х и скорости ее изменения у = dydx . Для определения периода автоколебаний

надо обратиться к решению уравнений во времени.

Случаю устойчивости системы «в малом» и неустойчивости «в большом» (рис. 16.3, б) соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.14, б. Граница начальных условий, до которой система устойчива, имеет чаще всего на фазовой плоскости вид неустойчивого предельного цикла, как на рис. 16.14, б, от которого в обе стороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это — второй важный тип особых линий, определяющий устойчивость системы «в малом» и неустойчивость «в большом».

Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивый предельный цикл (рис. 16.14, в), соответствующий автоколебаниям с большой амплитудой. Это соответствует процессам во времени, изображенным на рис. 16.3, г. Такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий при достаточно больших отклонениях могут наблюдаться и в случаях апериодических процессов (рис. 16.12, б и 16.13, б), включая превращения их в колебательные и наоборот. Например, картине процессов во времени, показанной на рис. 16.3, в, соответствует картина, фазовых траекторий на рис. 16.14, е.

Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границе устойчивости (при чисто мнимых корнях), картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.8, б, может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима О. При больших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается, картина фазовых траекторий будет другой. Один из возможных вариантов изменения фазовых траекторий при больших отклонениях в этом случае показан на рис. 16.14, г. Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла С1 и С2, что приводит фактически к неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл. Особые линии такого типа, как С1A1C2 и С2А2С1 (рис. 16.14, г), на фазовой