Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

В принципе решение не меняется. Изложенный метод решения задачи отличается

тем, что он одинаково пригоден к различным системам, описываемым уравнениями любого порядка, и не связан с построением годографов на комплексной плоскости.

§ 20.3. Система с нелинейным корректирующим устройством

На примере конкретной следящей системы (рис. 20.17) рассмотрим некоторые особенности введения специальных нелинейных корректирующих устройств, использование которых приводит к тому, что переходный процесс системе имеет такой вид, как будто инерционность двигателя во время переходного процесса существенно уменьшается [134].

На рис. 20.18 тонкой линией показано, что при синусоидальных колебаниях вследствие инерционности двигателя ошибка реальной системы δ р, отстает от ошибки при «идеальном» двигателе δ и на угол ψ = arctgwT, где w — частота колебаний, Т —

постоянная времени двигателя.

Введение нелинейных динамических корректирующих сигналов в данном случае производится таким образом, чтобы деформировать вид кривой ошибки δ р, как показано штриховкой на рис. 20.18.

Для отыскания численных соотношений, определяющих зависимость между интервалом введения динамического корректирующего сигнала и эквивалентными параметрами двигателя, разложим заштрихованную кривую (рис. 20.18) в ряд Фурье и сравним с кривой ошибки δ и при безынерционном двигателе. Ограничиваясь основной гармоникой колебаний, получим

(20.52)

где

или

(20.53)

Заметим, что амплитуда ошибки напряжения а соотношением δ 0 связана с амплитудой управляющего напряжения а соотношением δ 0=k4k5 a cosψ . При этом выражения для коэффициентов гармонической линеаризации примут вид

(20.54)

Поэтому гармонически линеаризованное уравнение двигателя с указанной нелинейной коррекцией будет

(20.55)

где Ω и U обозначены на рис. 20.17.|

Оно позволяет совместно с уравнениями остальных звеньев системы проводить анализ системы. Однако использование уравнения (20.55) технически не всегда бывает удобно. Недостатком формы записи его является то, что двигатель, по существу, является инерционным звеном, в то время как уравнение его получилось в форме уравнения звена с введением производной, причем q' < 0.

Для получения передаточной функции двигателя обычного вида необходимо сделать некоторые специальные преобразования. Будем искать ее в виде

(20-56)

с неизвестными пока k* и Т*. Потребуем, чтобы (20.56) и (20.55) были эквивалентны друг другу.

Уравнение (20.56) запишем в виде

(20.57)

и подставим в него значения d Ω/dt и Ω из (20.55):

(20.58)

Для случая исследования автоколебаний и устойчивости системы выражение для напряжения U принимается в виде

Подставив это в уравнение (20.58) я выделив члены с синусами и косинусами, получим систему уравнений

откуда находим

(20.59)

Таким образом, передаточная функция двигателя с нелинейной коррекцией имеет вид

(20.60)

Заметим, что в данном случае q' (а) < 0 и эквивалентная постоянная времени звена Т*, как это и должно быть, положительна.

Из выражения (20.59) видно, что для уменьшения постоянной времени двигателя нужно уменьшить величину | q' |.

Найдем передаточную функцию двигателя с указанной нелинейной коррекцией для исследования переходного процесса.

Вместо (20.55) получим

(20.61)

Передаточную функцию двигателя с нелинейной коррекцией, как и прежде, ищем в виде (20.56) или

Подставим сюда значения d Ω и Ω из (20.61). Получим

(20.62)

Затем, учитывая форму решения (20.7), (20.8), запишем выражения

и подставим их в (20.62). Разделяя там члены с синусами и косинусами, получим систему уравнений

Отсюда находим выражения для эквивалентного коэффициента усиления и постоянной времени:

(20.63)

(20.64)

Они отличаются от выражений (20.59), выведенных для случая исследования автоколебаний и устойчивости, наличием членов с ξ /w, характеризующих переходный

процесс.

наилучшие характеристики управления величинами ψ и z в смысле устойчивости, а также

точности стабилизации 1 при воздействии на систему возмущений fу и fz. Передаточная функция внутреннего контура тоже будет нелинейной;

(20.72)

где

При этом с увеличением сигнала σ (при σ > σ 0) значение постоянной времени τ (σ ) увеличивается.

Передаточная функция разомкнутого промежуточного контура для рассматриваемого примера будет

(20.73)

Если внутренний контур работает в линейной зоне (т. е. при σ <σ 0), то по линейной теории регулирования рекомендуется выбрать структуру блока Wф в виде

(20.74)

причем, на основании требований к быстродействию и к величине перерегулирования,

(20.75)

где n — некоторое число, выбор которого зависит от того, какой коэффициент колебательности и запас по фазе необходимо обеспечить, а τ о — постоянная времени рулевого тракта при σ <σ 0, т. е.

При выборе параметров регулятора по формулам (20.75) частота среза wс будет лежать на ветви логарифмической амплитудно-частотной характеристике.

Однако при σ > σ о внутренний контур будет работать в зоне насыщения скоростной характеристики и постоянная времени τ (σ ) будет увеличиваться с увеличением σ . Это может привести при выбранных выше параметрах Та и k1 к значительной колебательности и даже потери устойчивости в случае, когда

(20.76)

Поэтому для обеспечения устойчивости при σ >σ 0 необходимо брать значения n завышенными, но тогда окажутся неудовлетворительными характеристики стабилизации при σ <σ 0, т. е. невозможно обеспечить хорошую настройку системы регулирования

На рис. 20.25 представлена схема соответствующего нелинейного блока с передаточной функцией

Видно, что при значении Т2(σ ) < T1(σ ) можно с достаточным приближением реализовать стабилизацию фазовой характеристики.

На рис. 20.26 изображена л. а. х. разомкнутого промежуточного контура, построенная по передаточной функции

без учета нелинейного корректирующего контура, а на рис. 20.27 изображены стабилизированные за счет нелинейной коррекции амплитудная и фазовая характеристики данной нелинейной системы для промежуточного контура 2 (рис. 20.23).

Можно рекомендовать иной способ стабилизации фазовой характеристики, используя управляющую функцию вида

(20.83)

В этом случае отрицательное влияние постоянной времени τ (σ ) компенсируется введением дополнительного демпфирования с помощью слагаемого k2 | σ | рψ .

Аналогичными приемами можно стабилизировать запас по фазе, показатель колебательности и т. п., т. е. исключить плавание этих характеристик из-за нелинейности при изменении величины сигнала.

Обеспечение повышенной точности внешнего контура. Поставим задачу выбора структуры и параметров блока Wz (рис. 20.23), обеспечивающего устойчивость внешнего контура и повышенную точность стабилизации величины z с учетом ранее выбранной структуры и параметров первого и второго контуров.

Передаточная функция промежуточного контура по отношению к управляющему воздействию будет