Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

последовательных корректирующих средств в дискретных системах не является столь простой задачей, как в непрерывных системах.

Однако выше было показано, что л. а. х. дискретных систем, построенные в функции

абсолютной псевдочастоты для частот практически сливаются с л. а. х. непрерывной части. Поэтому можно воспользоваться известными приемами расчета последовательных корректирующих средств, если в качестве желаемых л. а. х.

использовать характеристики, соответствующие передаточным функциям непрерывной части.

Требуемый вид последовательного корректирующего звена определяется в этом случае по виду л. а. х., полученной вычитанием ординат л. а. х. нескорректированной системы из ординат желаемой (типовой) л. а. х.

Рассмотрим иллюстративный пример [10].

Пример. Произведем расчет системы с астатизмом первого порядка по следующим исходным данным: максимальная скорость слежения Ω = 20 град/сек максимальное ускорение слежения ε = 10 град/сек2; максимальная допустимая ошибка θ = 4 угл. мин.; допустимый показатель колебательности М = 1,5; шаг выдачи данных ЦВМ (период дискретности) Т = 0,02 сек передаточная функция непрерывной части имеет вид

где .

Определим вид и параметры последовательного корректирующего звена, которое должно быть включено в непрерывную часть системы, а также необходимое значение общего коэффициента усиления К.

Левее частоты среза л. а. х. дискретной системы совпадает с л. а. х. ее непрерывной части, а псевдочастота К — с реальной частотой о. Поэтому формирование желаемой л. а. х. левее частоты среза произведем обычными приемами.

Построим запретную зону для л. а. х. из условий точности (рис. 24.11). Контрольная частота

Модуль передаточной функции разомкнутой системы при w = wк

По этим данным на рис. 24.11 построены контрольная точка Ак и запретная зона, сформированная из прямых с наклоном 20 и 40 дб/дек (наклоны 1 и 2).

Желаемая л. а. х. в низкочастотной области формируется гак, чтобы она проходила

выше точки Ак на 3 дб (в линейном масштабе — 2 ). Она состоит отрезков прямых с наклонами 1—2—1. В низкочастотной области частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Параметры желаемой л.а.х. и передаточной функции разомкнутой системы в низкочастотной области определим в следующем порядке. Базовая частота л.а.х.

Постоянная времени корректирующего звена, формирующая первый излом л. а.

х.,

Для получения заданного показателя колебательности должно выдерживаться условие (формула 12.86)

Отсюда получаем значение второй постоянной времени корректирующего звена:

Далее определяем необходимое значение общего коэффициента усиления:

и частоту среза л.а.х.:

Для обеспечения заданного показателя колебательности в высокочастотной области должно удовлетворяться неравенство (24.41):

где — сумма постоянных времени меньших, чем Т/2. Отсюда получаем допустимое значение для суммы постоянных времени:

На рис. 24.11 пунктиром построена л. а. х. непрерывной части нескорректированной системы, сплошной линией — желаемая (скорректированная) л. а. х. непрерывной части. В низкочастотной области (до частоты среза wср) она совпадает с л. а. х. дискретной системы (см. рис. 24.10, а; на рис. 24.11 л. а. х. дискретной системы не изображена). В области высоких частот вид желаемой л. а. х. непрерывной части, вообще говоря, может быть произвольным. Важно только, чтобы сумма постоянных времени Т не превышала допустимого значения.

Наиболее простые корректирующие звенья получаются в тех случаях,, когда сопрягающие частоты л. а. х. нескорректированной системы и желаемой л. а. х. совпадают между собой. В рассматриваемом примере

Целесообразно принять

Тогда

Вычитая из ординат желаемой л. а. х. ординаты характеристики нескорректированной системы, получим искомую л. а. х. последовательного корректирующего звена. Она соответствует интегро-дифференцирующему звену с передаточной функцией

где

Из приведенного примера видно, что при синтезе непрерывных последовательных корректирующих устройств метод логарифмических частотных характеристик не теряет своей простоты и наглядности.

Можно показать [131], что при наличии временного запаздывания допустимый период повторения ЦВМ должен быть снижен в соответствии с формулой

где Т* — допустимый период повторения, полученный в результате синтеза системы без учета запаздывания. Время запаздывания , где k = 1, 2, 3,... и 0<ξ < 1.

Если время запаздывания τ соответствует целому числу периодов, то формула (24.48) становится точной:

(24.49)

§ 24.3. Дискретная коррекция

В общем случае передаточная функция ЦВМ (рис. 24.4) может быть сделана не равной единице: D(z) ≠1. Пусть она представляет собой дробно-рациональное выражение

вида

(24.50)

Здесь X (z) и Х1 (z) — изображения решетчатых функций на входе и выходе ЦВМ. Степень числителя (24.50) не может быть выше степени знаменателя. В формуле

(24.50) взят предельный случай, когда они равны.

После деления числителя и знаменателя на zk передаточная функция получится в другом виде:

(24.51)

Отсюда можно найти разностное уравнение, соответствующее алгоритму работы ЦВМ:

(24.52)

где х [n] и х1 [n] — решетчатые функции на входе и выходе ЦВМ. Результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет

(24.53)

где W0 (z) — передаточная функция разомкнутой системы при D(z) определенная в соответствии с § 24.1.

Дискретная коррекция может быть также реализована в системах управления без ЦВМ. В этом случае дискретные корректирующие средства реализуются на дискретных фильтрах, построенных на различных ячейках памяти.

Расчет дискретных корректирующих средств, т. е. определение желаемого вида передаточной функции D(z), может производиться следующим образом. Пусть известна желаемая дискретная передаточная функция разомкнутой системы

(24.54)

где Фж (z) — желаемая передаточная функция замкнутой системы, а W0 (z) — передаточная функция исходной нескорректированной системы. Тогда искомая передаточная функция ЦВМ (или дискретного фильтра) будет

(24.55)

Формирование желаемой передаточной функции Wж (z) должно производиться с учетом некоторых ограничений. Необходимо, чтобы передаточная функция Wж (z) содержала в качестве нулей все те нули W° (z), модуль которых равен или больше единицы. Необходимо также, чтобы выражение 1 - Wж (z) содержало в качестве нулей все те полюсы W0 (z), модуль которых равен или больше единицы.

Невыполнение этих условий вызывает нарушение требований к грубости системы и вызывает ее неустойчивость, так как приводит к неустойчивым линейным программам ЦВМ, которые должны реализовать получающуюся по формуле (24.55) передаточную функцию D(z).

Кроме того, получающаяся дробно-рациональная передаточная функция D(z) не должна иметь степень числителя выше, чем степень знаменателя, так как это приводит к необходимости знания будущего значения входного сигнала, что не может быть реализовано.

Вместо формулы (24.55) может применяться соотношение, связывающее

.дискретные частотные передаточные функции

(24.56)

или соответствующие им логарифмические частотные характеристики

(24.57)

После определения Wпк*(j λ ) подстановкой j λ = 2wТ-1 можно получить передаточную функцию Wпк*(j λ ), а затем путем перехода от w-преобразования к z- преобразованию — передаточную функцию Wпк*(j λ ) = D(z).

Сформулированные выше ограничения по отношению к выражению (24.56) имеют следующий вид. Необходимо, чтобы передаточная функция Wж*(j λ ) содержала в качестве своих нулей и полюсов по переменной х = j λ все те нули и полюсы передаточной функции W* (j λ ), которые лежат в правой полуплоскости. Кроме того, необходимо, чтобы получающаяся дробно-рациональная функция Wпк*(j λ ) имела степень числителя не больше, чем степень знаменателя.

Поясним сказанное примером. Пусть в цифровой системе с экстраполятором нулевого порядка передаточная функция непрерывной части

соответствует интегрирующему звену второго порядка. Тогда без коррекции имеем

Далее можно получить частотную передаточную функцию

Соответствующая ей л. а. х L построена на рис. 24.12. Если принять в качестве желаемой л. а. х. L1, то желаемая частотная передаточная функция

(24.58)

Она совпадает с типовой передаточной функцией (табл. 24.1), если положить Тi = 0,

где i = 1, 2, . . ., n.

Дискретная частотная передаточная функция требуемого корректирующего звена, последовательного типа

(24.59)

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

(24.60)

Последнее выражение определяет неустойчивую программу, так как полюс передаточной функции z1 =-1 соответствует колебательной границе устойчивости. Заметим, что получившаяся частотная передаточная функция корректирующего устройства (24.59) не может быть реализована, вообще говоря, и в непрерывном варианте.

Эта функция соответствует бесконечному подъему усиления при росте частоты до

бесконечности. При реализации в дискретном варианте эта функция приводит к неустойчивой программе ЦВМ.

Для исключения этого явления примем желаемую л. а. х. L2 в другом виде (рис. 24.12). Желаемая передаточная функция

(24.61)

Передаточная функция корректирующего устройства в этом случае имеет вид

(24.62)

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

(24.63)

Этой передаточной функции соответствует устойчивая программа ЦВМ. Для рассмотренного примера произведем числовой расчет. Пусть по условиям

точности К= 100 сек-2, а показатель колебательности М = 1,5. Дальнейший расчет произведем в соответствии с формулами § 12.6. Базовая частота л. а. х.

Требуемое значение постоянной времени равно

Допустимое значение суммы малых постоянных времени для передаточной функции (24.61) равно периоду дискретности:

Примем период дискретности Т = 0,0346 сек. Передаточная функция ЦВМ (24.63) имеет вид

В табл. 24.2 приведены некоторые простейшие дискретные корректирующие средства, которые могут реализоваться на ЦВМ или дискретных фильтрах. В табл. 24.2 даны также их параметры и значения модуля частотной передаточной функции G0 на нулевой псевдочастоте и G∞ при λ → ∞.

Комбинированное регулирование. В цифровых системах возможно использование комбинированного регулирования по задающему или возмущающему воздействиям. При выполнении заданных условий по точности комбинированное регулирование позволяет снизить требования к основному каналу.

Комбинированное регулирование особенно удобно применять в тех случаях, когда задающее воздействие вычисляется в управляющей ЦВМ. В этом случае на ЦВМ может быть также возложена задача вычисления производных этого воздействия, что позволяет просто реализовать схемы комбинированного регулирования, аналогичные рассмотренным в § 9.2. Подобное положение возникает, например, при слежении телескопов за планетами, при управлении по исчислимым координатам и т. п.

Структурная схема системы комбинированного регулирования для случая использования дополнительного канала с передаточной функцией Е (г) по задающему воздействию изображена на рис. 24.13.

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом дополнительного канала

(24.64)

где W (z) = D(z)W 0 (z) — передаточная функция разомкнутой системы, Wэ(z) —

эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы. Эквивалентная передаточная функция по ошибке

(24.65)

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы

(24.66)

Из формулы (24.65), если положить Фэx (z) = 0, можно получить условие полной инвариантности

(24.67)

Для большинства реальных систем степень числителя W0 (z) оказывается меньше степени знаменателя на единицу. Поэтому степень полинома Е1(z) будет на единицу больше степени полинома Е2 (z) и формула (24.67) может быть приведена к виду

(24.68)

Слагаемое cz = ce pT означает, что при формировании сигнала по каналу с передаточной функцией Е (г) необходимо использовать упрежденное на один такт значение задающего воздействия. Это связано с необходимостью применения прямых разностей, которые в дискретном плане должны здесь заменить процесс дифференцирования (см. § 15.1). При этом возможны следующие ситуации.

1.Если ЦВМ вычисляет значение задающей величины по некоторым заложенным в нее данным и использует при этом прогнозирование (например при вычислении текущих координат небесных тел, спутников, ракет и др.), то вычисление будущего значения интересующей величины может быть легко сделано со сдвигом на практически любое число тактов. В этом случае реализация формулы (24.68) в принципе возможна. Однако практические трудности в реализации слишком сложных алгоритмов и ограничения в элементах не дают возможности получить полную инвариантность.

2.Если ЦВМ вычисляет задающую величину не по принципу прогнозирования, а в результате обработки поступающей текущей информации, то точная реализация формулы (24.68) оказывается невозможной. Тогда приходится ограничиться приближенной реализацией формулы (24.67) либо вводить в прямой канал дополнительное запаздывание на один такт. В первом случае условие полной инвариантности (24.67) нарушается, во втором — вводится постоянное временное запаздывание на один такт в обработку задающего воздействия, что также нарушает условие инвариантности.

Таким образом, при использовании комбинированного регулирования приходится ориентироваться не на полную инвариантность, а на некоторое, во многих случаях весьма существенное, повышение точности.

Поскольку точность систем регулирования определяется низкочастотной частью л. а. х., а низкочастотная часть л. а. х. дискретных систем практически сливается с л. а. х. непрерывной части системы, то расчет дискретных систем комбинированного регулирования осуществляется аналогично непрерывному случаю [10].

Важнейшим следствием использования комбинированного регулирования является возможность снижения требований к ЦВМ в части ограничения периода дискретности. Это связано с понижением требований к каналу регулирования по отклонению при введении дополнительного канала с передаточной функцией Е(z).

Пониженные требования к точности воспроизведения в канале регулирования по отклонению позволяют перейти к желаемым л. а. х. с меньшим значением частоты среза.

Это дает возможность увеличить период дискретности Т при сохранении необходимого запаса устойчивости.

§ 24.4. Периодические режимы, обусловленные квантованием по уровню

Более полная по сравнению с рис. 24.4 структурная схема системы регулирования с ЦВМ изображена на рис. 24.14. Здесь добавлены преобразователи непрерывной величины в дискретную (Н — Д) и дискретной в непрерывную (Д — Н). Преобразователи представляют собой нелинейные элементы.

В преобразователях Н — Д число разрядов обычно велико (10—20), В преобразователях Д — Н число разрядов бывает меньше и может даже составлять единицу.

На рис. 24.15 изображены статические характеристики преобразователей. На рис. 24.15, а показана статическая характеристика входного преобразователя для задающего воздействия. По оси абсцисс отложено непрерывное значение g, а по оси ординат — цифровое представление g. Величина единицы младшего разряда обозначена δ1 .

Коэффициент передачи для линеаризованной характеристики

(24.69),

Число отличных от нуля уровней рассматриваемой характеристики, если а1— число двоичных разрядов (без учета знакового разряда), будет

(24.70)

На рис. 24.15, б изображена статическая характеристика входного, преобразователя для регулируемой величины. Символом у обозначено, непрерывное ее значение, а у — цифровое представление.

Крутизна линеаризованной характеристики

(24.71),

где δ2 — цена младшего разряда. Число отличных от нуля уровней характеристики, если а2 — число двоичных разрядов преобразователя, будет

(24.72)

Обычно δ1 =δ2 , k1 = k2 и µ1 = µ2

Объединенная статическая характеристика входного преобразователя для канала ошибки показана на рис. 24.15, в. По оси абсцисс отложена ошибка х=g-у, а по оси ординат — ее цифровое представление х. Характеристика справедлива для случая, когда задающее воздействие g=mδ1 = const, где m— целое число, либо у = mδ1 = const. Первый

случай рассматривается обычно при исследовании периодических режимов, вызванных квантованием по уровню.

В общем случае статическая зависимость х = f(х) определяет область расположения характеристик, которая показана на рис. 24.15, г. Характеристика, изображенная на рис. 24.15, в, представляет собой, по сути, некоторую среднюю характеристику этой области.