Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975

искривляются (рис. 20.2) или просто наклоняются в зависимости от формы нелинейности и от общей структуры системы. Это выражает собой изменение показателя затухания ξ и

частоты w нелинейных колебательных переходных процессов с изменением величины амплитуды колебаний а.

Значение ξ = 0 соответствует отсутствию затухания, т. е. сохранению с течением времени

постоянной амплитуды а. Например, точке С (рис. 20.2) соответствуют колебания с постоянной амплитудой ас (автоколебания). Поэтому линия ξ = 0 на диаграмме качества

(рис. 20.2) представляет собой не что иное, как зависимость амплитуды автоколебаний от параметра системы k, которая определялась в главе 18. По одну сторону от этой линии лежат линии ξ = const > 0, а по другую -ξ =const < 0. Первые соответствуют

расходящимся колебаниям, а вторые — затухающим.

Протеканию переходного процесса во времени соответствует движение изображающей точки М по вертикали (так как амплитуда а в переходном процессе меняется, а коэффициент усиления Н сохраняется постоянным), как указано на рис. 20.2 пунктиром и стрелками. Например, значению k в точке L соответствует вертикальная прямая М0b. Поскольку эта прямая пересекает линии только с отрицательными значениями ξ , то

колебания в переходном процессе будут затухать, т. е. изображающая точка М будет двигаться из некоторого начального положения М0 (где задана начальная амплитуда а0) вниз. Процесс изменения амплитуды во времени показан на рис. 20.3, а. Изменение частоты w(а) определяется при этом по соответствующей вертикали на нижней части рис. 20.2.

В том случае, когда параметр k в исследуемой системе имеет значение, соответствующее точке Е (рис. 20.2), получается два варианта протекания переходного процесса. Если начальное положение изображающей точки будет ниже точки С (а0 < ас), то ξ > 0, т. е.

колебания расходятся и изображающая точка идет, как показано стрелкой на прямой ЕС, асимптотически приближаясь к точке С. Это соответствует процессу изменения амплитуды колебаний во времени, изображенному на рис, 20.3, б. Если же а0 >aс> то ξ <0,

и изображающая точка пойдет по прямой НС вниз (рис. 20.2), что соответствует затухающему переходному процессу (рис. 20.3, в), асимптотически приближающемуся к автоколебаниям с амплитудой ас.

Процессы, аналогичные этому, будут иметь место при любом значении параметра k правее точки В (рис. 20.2). Следовательно, область значений параметра Н, лежащая правее точки О, является областью существования автоколебаний, к которой сходятся колебательные переходные процессы с обеих сторон (снизу и сверху). При этом

причем числитель и знаменатель последнего выражения представляют собой, согласно (20.19), многочлены по степеням jw с коэффициентами, зависящими от ξ .

Задаваясь различными постоянными значениями ξ , построим серию кривых WЛ (ξ +jw) как функции от jw при ξ = const; (рис. 20.4) аналогично тому, как обычно строятся амплитудно-фазовые характеристики линейной части системы. На том же графике

определяют собой решение уравнения (20.38), а именно для каждого значения ξ в этих

точках пересечения получаются соответствующие значения а и w. Этим самым определяется качество колебательного переходного процесса при всех заданных параметрах системы, т. е. определяются точки одной вертикали на диаграмме качества (рис. 20.2). Повторив такие же построения (рис. 20.4) для различных значений выбираемого параметра системы k, можно построить и всю диаграмму качества (рис. 20.2).

Способы построения диаграмм качества для систем второго класса и другие применения диаграмм см. в [100]. Там же рассматриваются несимметричные колебательные процессы и скользящие процессы.

§ 20.2. Примеры исследования колебательных переходных процессов

Рассмотрим сначала построение диаграммы качества и кривой переходного процесса на примере нелинейной следящей системы, а затем исследуем Переходный процесс в нелинейной системе с логическим устройством.

Пример 1. Структурная схема следящей системы изображена на рис. 20.5, где 1 — датчик рассогласования, 2 — усилитель, 3 — реле, 4 — исполнительный двигатель, 5 — редуктор, 6 — управляемый объект, 7 — дополнительная обратная связь.

Системы с такой структурной схемой находят применение в тех случаях, когда для управления двигателем нужна значительная мощность, а увеличение габаритов и веса усилителя нежелательно.

Для датчика рассогласования системы имеем уравнения ,

(20.40)

где а и β — соответственно входная и выходная величины системы, k1 - передаточное

число датчика рассогласования, v — рассогласование.

Статическая характеристика нелинейного звена — реле — изображена на рис. 20.6. Выполняя гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики реле, получим уравнение

(20.41)

где в соответствии с (18.16) для однозначной релейной характеристики с зоной нечувствительности коэффициент гармонической линеаризации определяется формулой

(20.42)

Учитывая уравнение датчика рассогласования (20.40), гармонически линеаризованное уравнение реле (20.41) и передаточные функции других линейных звеньев, приведенные на рис. 20.5, запишем уравнение для собственного движения (а = 0) следящей системы в виде

(20.43)

Характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному уравнению, будет

(20.44)

Произведем вначале построение диаграммы качества по первому способу, указанному в § 20.1. Для этого в уравнении (20.44) необходимо произвести подстановку р =ξ + jw с

использованием формулы (20.19).

Вычисляя соответствующие производные характеристического полинома (20.44) по р и подставляя р = ξ в полученные выражения производных, найдем коэффициенты

разложения в ряд уравнения (20.44) при р = ξ +jw, которое в результате распадается на следующие два уравнения:

(20.45)

(20.46)

Из последнего уравнения определяем квадрат частоты:

(20.47)

Подставляя значение w2 в уравнение (20.45),

(20.48)

Построим диаграмму качества для следящей системы по параметру k1, т. е. по передаточному числу (крутизне характеристики) датчика рассогласования. Так как затухание ξ в (20.48) входит нелинейно, то удобно данное уравнение разрешить

относительно параметра k1. В результате получим

(20.49)

Для построения диаграммы зададимся следующими значениями других параметров:

Т1=0,05 сек, Т2 =0,05 сек, k2 = 1, k3 = 200 град/сек- в, k4 = 0,01, kос = 10~3 сек-в/град, b=5в, с = 120 в..

Подставляя приведенные значения параметров в (20.49) и задаваясь различными постоянными значениями показателя затухания ξ = const, строим кривые a(k1) (рис.

20.7). На основании формулы (20.47) при постоянных значениях частоты w= const строим также пунктирные кривые а (k1). Эти кривые представляют собой диаграмму качества для рассматриваемой следящей системы. Кривая а (k1) при ξ = 0 соответствует

автоколебаниям.

Выполним теперь построение диаграммы качества по второму способу, указанному в §

20.1.

Уравнение (20.44) запишем в виде

где

Формулы (20.32) и (20.33) с этими значениями А1, А2, А3 позволяют построить диаграмму затухания нелинейных процессов по любому из параметров системы. Для параметра Ь^ при выбранных значениях других параметров следящей системы это дает тот же результат, что и в предыдущем случае.

Аналогичное построение диаграммы качества переходного процесса для той же системы при отключении дополнительной обратной связи дает результат, представленный на рис. 20.8. В данном частном случае линии ξ = const и w = const накладываются друг на друга.

параметра k1 = 5 в/град и при начальном значении амплитуды колебаний a0 = 250 в.На том же рис. 20.9 изображена пунктиром огибающая переходного процесса, построенная приближенно на основании диаграммы качества (рис. 20.7). Из выполненного построения видно, что приближенный расчет по методу гармонической линеаризации дает небольшую погрешность при определении огибающей. На рис. 20.10 показан характер переходных процессов в той же системе при повышенной крутизне датчика

рассогласования; k1 = 10 в/град. В данном случае в установившемся режиме имеют место автоколебания с амплитудой а = 42 в.

На рис. 20.11 построен переходный процесс в той же системе при k1 = 10 в/град для случая, когда система приходит к указанному режиму автоколебаний от малых начальных отклонений («снизу»). Там же показана огибающая а (t), найденная по методу гармонической линеаризации на основании диаграммы качества.

Приближенный метод дает достаточно хорошие результаты и в том случае, когда колебания затухают практически за один период (рис. 20.12).

Пример 2. В главе 17 было рассмотрено точное исследование переходного процесса в идеальной системе с логическим устройством. Исследуем теперь приближенным методом переходный процесс в реальной системе с учетом нескольких постоянных времени, имея в виду, что он сходится к автоколебаниям с некоторой амплитудой а = ап, которые изучались в § 18.4.

Найдем зависимости показателя затухания ξ и частоты w от меняющейся в переходном процессе амплитуды а, т. е. зависимости ξ (а), w (а). Тогда, зная начальную амплитуду а0

и конечную а = ап, можно судить о качестве переходного процесса по соответствующим значениям показателя затухания ξ и частоты w.

Формула для гармонической линеаризации нелинейности вместо (18.153) принимает вид

где q и q' определяются прежними формулами (18.154), так как последовательность переключений, согласно рис. 20.13, остается прежней. Но значения входящих в q и q' тригонометрических функций (18.151) и (18.152) изменятся следующим образом. При определении аи и аv через а нужно в соответствующие передаточные функции подставить р = ξ + jw, что дает

(аналогичные выражения получаются для аv и γ ). Сравнивая их с (18.149) приходим к

выводу, что в формулах (18.151) и (18.152) вместо а, T1w, aw, T2w должны быть поставлены соответственно выражения:

(20.50)

В результате q и q' будут функциями всех трех величин: q (а, w, ξ ); q' (а, w, ξ )

Характеристическое уравнение вместо (18.155) примет вид

где

После подстановки р = ξ +jw по формуле (20.19) получаем вещественную и мнимую части;

Отсюда находим;

(20.51)

Будем задаваться разными значениями ξ и w и строить на основании уравнений (20.51) линии равных значений ξ и w на плоскости координат k, а (рис. 20.14). Для этого для заданных ξ , со сначала строится кривая отношения q (а)/q' (а) (рис. 20.15). Согласно

(20.51) это отношение должно быть равно определенному числу; q (а)/q' (а) = f1/f2, чем определится значение а (рис. 20.15) для данных ξ , w. После этого для них вычисляется

значение k=f1/q. Таким путем по точкам строится вся диаграмма качества нелинейного переходного процесса (рис. 20.14). Линия ξ = О соответствует зависимости амплитуды

установившихся автоколебаний от коэффициента усиления А.

При любом заданном А изменение показателя затухания ξ и изменение частоты w во

время переходного процесса определится прямой А = сонз1; (рис. 20.14, пунктир). Результат показан на рис. 20.16. Это позволяет судить о быстроте затухания и о количестве колебаний за время переходного процесса.

Заметим, что решение задачи несколько упростится при малом ξ . В этом случае, считая

постоянные времени измерителей T1 и T2 достаточно малыми, можем пренебречь произведениями Т1 и T2 в выражениях (20.50) и пользоваться прежними выражениями q и q' (18.151) с подстановками (18.151) и (18.152). Кроме того, в написанных выше выражениях для X и Y нужно сохранить только первую степень ξ :