1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)

Поток вектора электрической индукции (вектора электрического смещения) сквозь произвольную замкнутую поверхностьравен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью(рис. 1.2):

, (1.6)

где – k-й дискретный свободный заряд, расположенный внутри объема; – полный (суммарный) свободный заряд внутри объема; – объемная плотность свободного заряда (для случая его непрерывного распределения).

Физический смысл теоремы Гаусса заключается в следующем. Если поток вектора через замкнутую поверхностьне равен нулю, то внутри объема, ограниченного этой поверхностью, заключеныисточники данного вектора. Иными словами, источниками вектора являются свободные заряды. Если зарядов внутри поверхности нет, то поток векторасквозь такую поверхность равен нулю.

Геометрический смысл: линии вектора электрической индукции связаны со свободными зарядами. Они начинаются на свободных зарядах и заканчиваются на них.

Рис.1.2

Теорему Гаусса, Максвелл обобщил (постулировал) и на переменные электрическое поля.

Левую часть уравнения (1.6) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:

.

Отсюда имеем теорему Гаусса в дифференциальной форме (постулат Максвелла в общем случае):

.

Четвертое уравнение Максвелла устанавливает истоки линий элек­трического поля. Оно гласит, что линии вектора электростатической индукциимогут иметь разрыв, т.е., начинаться на положительных зарядах и заканчиваться на отри­цательных

1.4.5. Система уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла, наиболее полно и точно (насколько это известно) описывает все проявления электромагнитного поля, в них заключена вся электродинамика.

Уравне­ния Максвелла в дифференциальной форме :

, , _, .

Материальные уравне­ния:

_, ,_.

Здесь - вектор стороннего электрического поля (внутри источников электрической энергии).

1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга

Энергия электромагнитного поля.

Плотность энергии электрического поля определяется как

.

Плотность энергии магнитного поля имеет вид

.

Плотность энергии электромагнитного поля может быть представлена как

.

Энергия электромагнитного поля в объеме

,

Для однородных изотропных сред (,,) имеем:

,

,

что при подстановке в (3.31) дает

.

Вектор Пойнтинга.

Векторное произведение обозначим черезВекторназывают вектором Пойнтинга, онодновременно характеризует электрическое и магнитное поля и имеет размерность поверхностной плотности мощности – . Вектор Пойнтинга образует с векторамииправую тройку, или правоходовую систему (рис.1.3).

Рис.1.3

Теорема Умова-Пойтинга математически выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле. Теорема представляет собой своеобразное уравнение энергетического баланса в теории поля подобно уравнению баланса мощностей в электрических цепях.

Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться час­тично или полностью ис­точники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Будем считать среду однородной и изотропной. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:

, (1.7)

, ( 1.8)

. ( 1.9)

Здесь - вектор стороннего электрического поля (внутри источников электрической энергии).

Умножим скалярно уравнение (1.7) на , уравнение (1.8) на, и вычтем почленно ле­вые и правые части уравнений:

.

Из курса математики известно, что

Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (1.9) следует:

;

.

После преобразования получим:

Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объ­ему V:

Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Гаусса:

,

где  вектор Пой­нтинга [Вт/м], численно равный плотности потока мощности в рассматриваемой точке;

мощность тепловых потерь или потребляемая мощ­ность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;

мощность источников энергии внутри объема, эта мощность от­рицательна, если векторы исовпадают, и положительна, если эти векторы не совпа­дают;

мощность элек­тро­магнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и от­рицательна, если идет процесс возврата энергии.

Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:

.

Формулировка теоремы Умова-Пойтинга:

небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойнтинга, направленным внутрь объема (знак ) че­рез замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.

Вектор Пойнтинга характеризует величину и направ­ление энергии, проходя­щей в единицу времени через единицу площади в на­правлении вектора Пойнтинга.

Теорема Умова–Пойнтинга имеет большое прикладное значение, поскольку позволяет получить информацию о процессе передачи энергии от источника к приемнику.