5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде

Пусть плоская гармоническая волна проникает в проводящую среду ) через плоскость, нормальную к направленную движения волны.

Система уравнений Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

Плотностью тока смещения () в уравнении (1) пренебрегаем в связи с ее малостью по сравнению с плотностью тока проводимости.

Выберем направления осей координат так, чтобы вектор сопадал с осьюx (), векторсовпадал с осьюy (), тогда вектор Пойтингабудет направлен по осиz (). При таком выборе направле­ний осей координат

и система уравнений Максвелла получит вид:

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из пере­менных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по пере­менной (z) и сделаем в него подстановку из уравнения (1):

Введем обозначения:

, где .

С учетом принятых обозначений дифференциальное уравнение получит стандартную форму:

.

Решение дифференциального уравнения:

,

где ₁= p b, ₂ =p  корни характеристического уравнения.

Если среда распространения волны не ограничена, то отраженная волна отсутствует, и второе слагаемое из решения можно исключить, тогда решение в комплексной форме по­лучит вид:

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Решение для волны в комплексной форме:

,

где комплексное волно­вое сопро­тивле­ние среды, которое носит активно-индуктивный характер.

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Таким образом, электромагнитное поле в проводящей среде распростра­няется в виде затухающих взаимно перпендикулярных волн и. Множительпоказывает, что амплитуды волн при своем перемещении зату­хают по экспоненциальному закону.

Под глубиной проникновения ∆ понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z), на котором амплитуда падающей волны Е (или Н) уменьшается в е =2,7183 раз.

Уравнением для определения глубины проникновения является выражение е^-κΔ=е^-1.

Отсюда следует, что kΔ=1 или Δ =1/k .

Глубина проникновения зависит от свойств проводящей среды (σ и μ) и от частоты ω.

Так, если электромагнитная волна имеет частоту f=5000 Гц и проникает в проводящую среду, у которой σ =10⁷ См/м и μ_r=10³, то

k=√ωσμ/2=√2π·5000·10³·1,256·10^-6·10⁷/2=14100(1/м).

Глубина проникновения Δ =1/κ  0,007 см, т.е. на ничтожном расстоянии в 0,007 см амплитуды Н и Е снизились в 2,7183 раза.

Под длиной волны  в проводящей среде понимают расстояние вдоль направления распространения волны (вдоль оси z) , на котором фаза колебания изменится на 2π. Длина волны определится из уравнения  k=2π, отсюда =2π/ k. На расстоянии длины волны z = зату­хание волны составит раз.

Под фазовой скоростью понимают скорость, с которой надо было бы перемещаться вдоль оси z, чтобы колебание имело бы одну и ту же фазу. Фаза колебания определяется выражением (ωt–κz+ψ_a). Производная от постоянной величины есть нуль, поэтому

d ( ωt–kz+ψ_a)/dt =0, или ω–k dz/dt=0; dz/dt= v_фаз , v_{фаз =}ω/k.

Для рассмотренного выше числового примера

v_фаз =2π·5000/14100  2,25 (м/с).

Таким образом, электромагнитная волна проникает вглубь проводящей среды с малой скоростью и на очень малую глубину.