- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
Переменное электромагнитное поле быстро затухает по мере проникновения в толщу проводящей среды. Это приводит к неравномерному распределению поля по сечению магнитопровода, и следовательно, к неравномерному распределению магнитного потока по сечению: на оси магнитопровода плотность магнитного потока наименьшая, а у поверхности наибольшая.
Для более равномерного распределения магнитного потока по сечению магнитопровода и для уменьшения потерь на вихревые токи, магнитопроводы трансформаторов собираются из отдельных тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от друга. Исследуем распространение переменного поля в таком листе.
Рассмотрим поле в стальном листе при прохождении вдоль листа переменного магнитного потока .
Рис.5.1
Лист (рис.5.1) имеет толщину 2а, высоту h (h >> 2а) и весьма большую протяженность в направлении, перпендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по сечению листа
.
Задача состоит в определении законов изменения иĖ по сечению листа. В силу симметрии напряженность магнитного поля на поверхности листа на левой и на правой поверхностях листа одинаковы. Обозначим ее через и будем полагать известной (в дальнейшем выразим ее через ).
Так как толщина листа 2а много меньше высоты листа h, то искажающим влиянием краев листа можно в первом приближении пренебречь и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская электромагнитная волна. Расположим оси координат декартовой системы в соответствии с рис.6.6. Примем, как и прежде, . Общее решение для таково =Ċ1epz+Ċ2e-pz. Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. Для точек, находящихся на левой стороне листа, т.е.:
при z = –а = Ċ1e-pа+ Ċ2epа; (5.1)
при z = + а = Ċ1epа+ Ċ2e-ра. (5.2)
Совместное решение уравнений (5.1) и (5.2) относительно Ċ1и Ċ2 дает Ċ1= Ċ2=/( epа+ e-pа)=/2ch pa.
Следовательно, в произвольной точке
=/2ch pa·(epz+ e-pz)= ch pz/ ch pa. (5.3)
Напряженность электрического поля
Здесь = . (5.4)
При z = + а направлено вверх (вдоль оси –x). При z = – а ориентирована вниз (вдоль оси +x, рис. 5.1). Вектор Пойнтинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа), т.е. поток энергии электромагнитного поля поступает из диэлектрика внутрь листа.
Как известно из второй части курса ТОЭ, ток, возникающий при прохождении по листу переменного магнитного потока, принято называть вихревым током. Вектор плотности этого тока в любой точке листа коллинеарен с векторомв этой же точке и изменяется потомужезакону(5.4).
Магнитная индукция в произвольной точке
=μ= μсh pz/ch pa.
Среднее значение магнитной индукции в листе
(μsh pа) /(ap ch pa) = (μ th pa) /ap. (5.5)
Если считать известной и равной , то из выражения (5.5) может быть найдена напряженность поля на поверхности листа =ap/(μ th pa).
Заметим, что аргумент ра=kа+jkа является комплексом и th pa есть гиперболический тангенс от комплексного аргумента: он также является комплексом
th pa= th (ka+jka)=(sh 2ka+j sin 2ka)/(ch 2 ka+cos 2ka).
Отношение среднего значения магнитной индукции по сечению листа к напряженности поля на поверхности листаназываюткомплексной магнитной проницаемостью и обозначают .
=(μ th pa)/ар (=).
Она зависит от относительной магнитной проницаемости, частотыω и толщины листа. При больших значениях аргумента 2kа величина sh 2kа ≈ ch 2kа, и значения этих функций немного больше 1. Поэтому при больших значениях 2kа получаем
th pa sh 2kа/ ch 2kа1
и комплексная магнитная проницаемость оказывается равной=/ ра. Так, при толщине листа 2а = 0,015 см, =20000,
σ = 1,8·106 См/м и f = 50000 Гц, k=√ωσμ/2=842; p=842√2ej45˚; kа=6.31; 2kа=12,62; th pa sh12,62 / ch12,62 1.
Следовательно, .
Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны, называют поверхностным эффектом. Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверхностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то наблюдающийся при этом поверхностный эффект часто называют электрическим поверхностным эффектом.
Природа их одна и та же. И дополнительное прилагательное (магнитный или электрический) свидетельствует лишь о том, что направлен вдоль листа (шины) поток или ток.
Рис.5.2
На рис.5.2 построены две кривые. Первая из них дает характер изменения модуля напряженности магнитного поля в функции от z. В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как ch 0≠ 0. Кривая H (z) строится по уравнению (6.14). Вторая кривая на рис.5.2 дает характер изменения модуля напряженности электрического поля в функции от z. Кривая плотности вихревых токов качественно повторяет кривую Ė от z (разница только в масштабе).