- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
5.5.Электрический поверхностный эффект
Пусть вдоль шины направлен переменный ток. Положительное направление тока и расположение осей декартовой системы координат даны на рис5.3.
Рис.5.3
По закону полного тока найдем напряженность магнитного поля на поверхности шины. Так как в данной задаче, как и в предыдущей, h >2a, то при подсчете можно в первом приближениипренебречь составляющей интеграла вдоль горизонтальных сторон шириной 2а.
Тогда, обозначив напряженность поля на .поверхности шины через , получим2h=İ. Отсюда = İ/2h.
При составлении уравнений для определения постоянных интегрирования учтем, что слева от шины напряженность ориентирована вдоль положительного направления оси y, а справа – в отрицательном направлении оси y.
Общее решение для плоской волны:
= Ċ1epz +Ċ2e-pz.
Постоянные интегрирования найдем, используя граничные условия:
при z = – а = Ċ1e-pа+ Ċ2epа,
при z = а –= Ċ1epа+ Ċ2e-pа
Совместное решение двух последних уравнений дает Ċ1= – /2sh pa.
Подставим Ċ1 и Ċ2 в общее решение. Будем иметь
= –·sh pz/sh pa = – (İ·sh pz)/( 2h ·sh pa).
Напряженность электрического поля Ė направлена вдоль оси x и равна Ė = –d/(σ dz)
или Ė= (p İ ch pz) /(2σh · sh pa).
Плотность тока в любой точке пластины
= σĖ=pİ · ch pz /(2h · sh pa).
Минимальное значение плотности тока будет в средней плоскости шины при z = 0.
Оно равно pİ/(2h · sh pa).
График изменения модуля в функции от z представлен на рис. 5.4. На том же рисунке изображена вторая кривая, она дает зависимость модуля плотности тока от z.
Рис.5.4
Чем толще шина, чем больше σ, μ, и ω, тем сильнее проявляется поверхностный эффект, т. е. тем более неравномерным становится распределение плотности тока по сечению шины. И если частота ω очень велика, то может оказаться, что ток будет протекать только по тонкому поверхностному слою шины.
При тонких шинах и относительно небольших частотах поверхностный эффект проявляется в малой степени.
Рассмотрим числовой пример. Медная шина высотой h =2 см и толщиной 2а=0,1 см имеет: σ = 5,6*107 См/м; μr=1. По ней протекает переменный ток I=10 А, угловая частота ω = 105 рад.
Требуется выяснить, во сколько раз плотность тока на краю шины будет больше плотности тока, соответствующей равномерному распределению (когда поверхностный эффект отсутствует). Определяем k=√ωμσ/2=18,7 1/см, kа=18,7·0,05=0,935; 2kа=1,87.
Плотность тока на поверхности шины =İ/(2h· th pa),
thpa=(sh2κа+jsin2κа)/(ch 2κа+cos2κа)
=(3,167+j 0,956)/( 3,32–0,292)=1,09 ej16˚ 25΄.
Следовательно,
z=a = 18,7 √2ej45˚ ·10/(2·2·1,09ej16˚25′)= 60,6ej28˚35′ А/cм2.
Плотность тока при равномерном распределении
J=I/2ha=10/0,2=50 А/см2.
Таким образом, в рассматриваемом примере плотность тока на поверхности шины оказалась всего на 20% ( 60,6/50 ≈ 1,2) больше чем плотность тока при равномерном распределении.
Определение активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников на переменном токе часто производят при помощи теоремы Умова - Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в один метр и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику, получают комплекс сопротивления проводника на единицу длины (на один метр).
Действительно,
и Z =R+jX= /I2 .
В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное сопротивление прямоугольной шины длиной в один метр. Энергия в шину проникает с двух сторон. Поверхность шины с двух сторон на длине в 1 м равна 2h1.
Z=R+jX=
или Z= 18,7 √2ej45˚/(5,6·105·4·1,09 ej16˚25′)=9,5·10-4+j 5,16·10-4 Ом/м
Следовательно, активное сопротивление провода на 1 см длины шины равно 9,5·10-6 Ом и внутреннее индуктивное сопротивление 5,16· 10-6 Ом.
Для сравнения заметим, что омическое сопротивление единицы длины плоской шины, т. е. сопротивление постоянному току, равно 8,92·10-6 Ом/м. Таким образом, в силу поверхностного эффекта активное сопротивление увеличилось с 8,92·10-6 до 9,5·10-6 Ом/м, т. е. на 6%.
В рассматриваемом числовом примере в силу того, что шина довольно тонкая и частота сравнительно невысока, активное сопротивление шины лишь очень на немного превышает омическое сопротивление. В других случаях это превышение может быть много больше.