2.9.2.Граничные условия для потенциала

На границе имеем   .

На поверхности раздела двух сред с разными электрическими свойствами потенциал непрерывен.

На границе имеем:

.

2.10.Теорема единственности решения

Решение любой задачи электростатики сводится к решению того или иного уравнения в частных производных либо системы таких уравнений.

Уравнения в частных производных в общем случае допускают множество линейно-независимых решений. Однако каждая конкретная задача имеет одноединственное решение, подразумевает одну единственную картину поля.

Выбор одного единственного, удовлетворяющего конкретной задаче, производится при помощи граничных условий.

В теории поля существует теорема единственности решения, которую приведем без вывода.

Теорема единственности решения гласит, что найденное любым способом решение уравнений Пуассона или Лапласа, является единственно верным реше­нием, если оно удовле­творяет граничным условиям данной задачи.

Из теоремы единственности решения вытекают два следствия, имеющее важное прак­тическое значение:

1.Электростатическое поле в некотором объеме, ограниченном экви­потенциаль­ной поверхностью, не изменится, если эту поверхность заменить бесконечно тонким прово­дящим слоем.

2.Электростатическое поле по одну сторону некоторой поверхности S не изме­нится, если по другую сторону поверхности изменить параметры среды (например, заменить поводящую среду диэлектриком) и изменить расположение свободных зарядов так, чтобы на этой поверхности сохранились прежние граничные условия.

2.11.Электрическая емкость

Под емкостью между двумя телами, на которых имеются равные и противоположные по знаку заряды, понимаютабсолютную величину отношения заряда на одном из тел к напряжению между телами:

.

Емкость зависит от конфигурации тел, их размеров, расстояния между телами, а также от электрических свойств диэлектрика (от ).

В физике существует понятие "емкости уединенного тела", т.е. предполагается, что другое тело с противоположным зарядом () находится на бесконечности (бесконечно удалено) в точке, потенциал которой.

Тогда) емкость уединенного тела равна:

.

Единицей измерения емкости является фарад (Ф):

.

Потенциал уединенного шара радиусом , находящегося в однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью, с учетом равен:

.

Электроемкость Земли равна

.

2.12. Энергия электростатического поля

Электрическая энергия поля системы заряженных тел равна полусумме произведений потенциалов тел на их заряды:

, (2.10)

где – потенциал электростатического поля в точке расположения-го заряда.

Выразим энергию электростатического поля через потенциал и заряд.

Рассмотрим второй интеграл в последнем выражении. Применим к нему теорему Остроградского- Гаусса.

Интересуясь всей энергией, создаваемой системой электрических зарядов, распространим интегрирование на все пространство. Другими словами, окружим область, в которой имеются заряды, условной сферической поверхностью и устремим ее радиус в бесконечность. Так как произведение убывает быстрее, чемr^-2, а площадь сферы увеличивается как r², исследуемый интеграл обращается в ноль. Следовательно, формула для энергии электростатического поля имеет вид:

Исследования показывают, что энергия сосредоточена в том пространстве, где имеется электромагнитное поле. Для случая изотропных сред, для которых справедливо соотношение:

. (2.11)

Выражение (2.11) позволяют определить энергию электрического поля, как в отдельных его областях, так и во всем поле. Для этого необходимо взять лишь соответствующие пределы интегрирования. Плотность электрической энергии для изотропных сред определяется соотношением:

.