- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
Проводник электричества – это твердое или жидкообразное (жидкость) тело, в котором имеется большое количество свободных зарядов.
В проводнике (металле) так много свободных электронов, что под действием всякого электрического поля возникает упорядоченное направленное движение многих из них, т.е. возникает электрический ток. В условиях электростатики, при отсутствии постоянных источников, электроны в проводнике движутся только до тех пор, пока не расположатся таким образом, что повсюду внутри проводника возникнет нулевое электрическое поле. Как правило, это происходит в считанные доли секунды.
Поместим твердое проводящее тело (проводящий шар) в однородное электростатическое поле . Примерная картина расположения зарядов на поверхности шара приведена на рис. 2.4. На поверхности тела, обращенной в сторону более высокого потенциала (), скапливаются отрицательные заряды, а на противоположной стороне () – положительные. Внутри проводника возникает поле, уравновешивающее внешнее электростатическое поле, вследствие чего результирующее поле внутри шараравно нулю. Хотя сумма зарядов тела равна нулю, заряды, выступившие на его поверхность, оказывают существенное влияние на полевне проводника. Если проводящее тело произвольной формы зарядить положительно (рис. 2.4), заряды на его поверхности распределятся таким образом, что поле внутри проводника будет равно нулю, а вне тела возникнет электростатическое поле. Итак, никакое статическое распределение зарядов снаружи не создает поля внутри проводника.
Рассмотрим поле внутри проводящего тела ().
, ,
следовательно,
.
Таким образом, потенциал внутри проводника от точки к точке не изменяется, т.е. любой проводник – это эквипотенциальная область, и его поверхность является эквипотенциальной. Электрическое поле возле поверхности проводника не имеет тангенциальной составляющей, т.е. поле направлено по нормали к его поверхности.
Поскольку в проводящем материале электрическое поле всюду равно нулю, то
,
и в соответствии с теоремой Гаусса плотность свободного заряда внутри проводника обращается в нуль, . Таким образом, все заряды находятся на поверхности проводящего тела в узком слое толщиной в один – два атома.
Из сказанного ясно, что внутри сплошного проводника и в полом проводящем теле электрического поля равно нулю. Если полый проводник заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т.е. полость внутри проводника будет полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом принципе основана электростатическая защита (экранирование) электрического оборудования от влияния внешних полей.
2.9. Граничные условия в электростатическом поле
Для решения дифференциальных уравнений с частными производными необходимо знать граничные условия.
2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
Уравнения поля в дифференциальной форме справедливы в области непрерывности входящих в них функций. В реальных условиях имеются границы раздела сред с разными электрическими свойствами, на которых функции, входящие в уравнения терпят разрыв.
Математические формулы, отражающие законы электростатического поля интегральной форме на границах раздела сред с разными электрическими свойствами, называются граничнымиусловиями в электростатическом поле.
Окружим точку M на границе раздела сред элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами основания. Применим к поверхности призмы теорему Гаусса, при этом пренебрежем потоком вектора через боковые поверхности ввиду их малости. Тогда получим:
Отсюда получаем граничное условие нормальной составляющей вектора электрического смещения
Dn2–Dn1= σ.
Нормальная проекция вектора электрического смещения на границе раздела двух сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на этой границе.
При отсутствии на поверхности раздела сред поверхностного заряда имеем
.
На границе раздела двух диэлектриков в случае отсутствия на границе раздела двух сред свободного заряда равны нормальные составляющие вектора электрического смещения.
Окружим выделенную точку M элементарным прямоугольником, высота которого бесконечно мала по сравнению с его длиной. Найдем значение циркуляции вектора по периметру прямоугольника:
.
Отсюда
или
.
На границе раздела двух диэлектриков равны тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля..
Из граничных условий получим
или , откуда следует
―условие преломления линий поля на поверхности раздела двух диэлектриков с различными значениями и диэлектрической проницаемости (и).
Рассмотрим граничные условия на поверхности раздела диэлектрика с проводником.
Электростатическое поле внутри проводника отсутствует(E1= 0, D1=0), а его поверхность является эквипотенциальной. На поверхности проводника бесконечно тонким слоем будут располагаться свободные разряды с поверхностной плотностью .
На границе раздела проводящего тела и диэлектрика вектора D и E перпендикулярны к поверхности проводящего тела.
Плотность свободных зарядов на поверхности проводящего тела равна нормальной составляющей вектора электрической индукции:
σ=Dn=D.
Нормальная проекция вектора электрической индукции (смещения) на поверхности проводника равна плотности свободного заряда, расположенного на этой поверхности.