- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
При расчете используются граничные условия, выраженные через векторный потенциал. Условие записывается в виде, а условие - в виде
.
На поверхности тела с идеальными магнитными свойствами
() при отсутствии на них поверхностных токов справедливы на них условия .
4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
В той части пространства, где плотность тока равна нулю, имеем rot = 0 и, следовательно, в этой части пространства можно представить напряженность магнитного поля в виде = –gradм.
Из сказанного ясно, что пользоваться понятием скалярного магнитного потенциала можно только в той области пространства, где = 0. Однако и в этой части пространства м является многозначной функцией. Линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому замкнутому контуру, не охватывающему контура с током, равен нулю:
Рис.4.4
Если выбрать такой замкнутый путь интегрирования, который охватывает контур тока i, например, путь AlBmA на рис.4.4, то линейный интеграл напряженности магнитного поля по такому пути уже не равен нулю:
откуда
Путь ArBmA охватывает два раза контур с током i. Для такого пути имеем: и, следовательно,и вообще интеграл по некоторому путиAxB может отличаться от интеграла по пути AmB на ki, где k – целое число, если все пути проходят вне области пространства, занятой самими проводниками с током:
Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается величиной многозначной.
В соответствии с четвертым уравнением Максвелла divH = 0 и уравнением H= –gradφм скалярный магнитный потенциал подчиняется уравнению Лапласа:
.
Скалярную функцию называют скалярным потенциалом магнитного поля,или скалярным магнитным потенциалом, в отличие от векторного потенциала .
Применение понятия скалярного потенциала м в ряде случаев значительно упрощает решение задач по расчету магнитного поля вне токов. Скалярный магнитный потенциал не имеет физического смысла, он служит удобной математической величиной для расчета магнитного поля.
4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
Пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса R протекает постоянный ток I . Выберем систему координат x, y, z так, чтобы ось провода совпадала с осью координат z .
Будем считать, что ток равномерно распределяется по сечению провода, тогда его плотность будет равна .
Имеем две области, для каждой из которых выполним расчет параметров магнитного поля
1) область внутри провода при 0 r R ,
2) область вне провода при R r .
Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом rR . Тогда ток внутри контура интегрирования
, откуда .
Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интегральной форме
,
откуда следует и.
Векторы инаправлены по касательной к окружности, их направление определяется по правилу правоходового винта.
При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину d на единицу длины провода
(l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину d
Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода
,
.
Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктивности провода на единицу длины
Гн/м.
Внутренняя индуктивность провода зависит от его магнитной проницаемости (для стальных проводов она значительно больше, чем для медных или алюминиевых) и не зависит от его радиуса.
Для расчета поля во внешней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом rR . Ток внутри контура интегрирования равен I и не зависит от текущего значения радиуса r. Из закона полного тока следует
,
откуда
и .
Для магнитного поля снаружи провода можно определить скалярный магнитный потенциал, полагая Н= – gradφM..
В цилиндрической системе координат
Тогда
т.е. плоскости равного скалярного потенциала проходят через радиус и ось проводника.