4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля

При расчете используются граничные условия, выраженные через векторный потенциал. Условие записывается в виде, а условие - в виде

.

На поверхности тела с идеальными магнитными свойствами

() при отсутствии на них поверхностных токов справедливы на них условия .

4.3. Скалярный потенциал магнитного поля

В той части пространства, где плотность тока равна нулю, имеем rot = 0 и, следовательно, в этой части пространства можно представить напряженность магнитного поля в виде = –grad_м.

Из сказанного ясно, что пользоваться понятием скалярного магнитного потенциала можно только в той области пространства, где  = 0. Однако и в этой части пространства _м является многозначной функцией. Линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому замкнутому контуру, не охватывающему контура с током, равен нулю:

Рис.4.4

Если выбрать такой замкнутый путь интегрирования, который охватывает контур тока i, например, путь AlBmA на рис.4.4, то линейный интеграл напряженности магнитного поля по такому пути уже не равен нулю:

откуда

Путь ArBmA охватывает два раза контур с током i. Для такого пути имеем: и, следовательно,и вообще интеграл по некоторому путиAxB может отличаться от интеграла по пути AmB на ki, где k – целое число, если все пути проходят вне области пространства, занятой самими проводниками с током:

Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается величиной многозначной.

В соответствии с четвертым уравнением Максвелла divH = 0 и уравнением H= –gradφм скалярный магнитный потенциал подчиняется уравнению Лапласа:

.

Скалярную функцию называют скалярным потенциалом магнитного поля,или скалярным магнитным потенциалом, в отличие от векторного потенциала .

Применение понятия скалярного потенциала _м в ряде случаев зна­чительно уп­рощает решение задач по расчету магнитного поля вне токов. Скалярный магнитный потенциал не имеет физического смысла, он служит удобной математической величиной для расчета магнитного поля.

4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током

Пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса R про­текает по­стоянный ток I . Выберем систему координат x, y, z так, чтобы ось про­вода совпадала с осью координат z .

Будем считать, что ток равномерно распределяется по сечению провода, тогда его плотность будет равна .

Имеем две об­ласти, для каж­дой из которых выполним расчет параметров магнитного поля

1) область внутри провода при 0  r  R ,

2) область вне провода при R  r   .

Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде ок­ружности с текущим радиусом rR . Тогда ток внутри контура интег­рирования

, откуда .

Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интеграль­ной форме 

,

откуда следует и.

Векторы инаправлены по касательной к окружности, их направле­ние опре­деляется по правилу правоходового винта.

При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину d на единицу длины провода

(l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину d 

Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в резуль­тате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода

_,

.

Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктив­ности провода на еди­ницу длины 

Гн/м.

Внутренняя индуктивность провода зависит от его магнитной прони­цаемости  (для стальных проводов она значительно больше, чем для медных или алюминиевых) и не зави­сит от его радиуса.

Для расчета поля во внешней области выберем контур интегрирования в виде окруж­ности с текущим радиусом rR . Ток внутри контура интегрирова­ния равен I и не зависит от текущего значения радиуса r. Из закона полного тока следует

,

откуда

и .

Для магнитного поля снаружи провода можно определить скалярный магнитный потенциал, полагая Н= – gradφ_M..

В цилиндрической системе координат

Тогда

т.е. плоскости равного скалярного потенциала проходят через радиус и ось проводника.