- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
3.4.Задачи Задача 1
При заданном векторе плотности тока
δ = 4x ×1x + 3y ×1y - 7z ×1z , ( А/мм2)
определить значение потенциала φ (В) вида φ= Ax2 + By2 + Cz2 в точке с
координатами x=3 (м), y=2 (м), z=1 (м) при известной удельной проводимости среды γ=10·106 (1/Ом·м).
Решение. Переведем заданный вектор плотности тока δ в (А/м2) и
по закону Ома в дифференциальной форме запишем вектор напряженности:
δ =0,4x 1x+ 0,3y 1y+ 0,7z 1z ,).
Далее на основании уравнения
E=-gradφ →…
В результате зависимость для потенциала будет следующей
= Ax2 +By2 +Cz2 = -0,2x2 - 0,15y2 + 0,35z2 , (В)
тогда искомое значение потенциала в точке с координатами x=3 (м),y=2 (м), z=1 (м) составит:
= -0,2 × (3)2 - 0,15× (2)2 + 0,35× (1)2 = -2,05 (В).
Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
Рассчитать ток утечки между двумя жилами коаксиального кабеля. Изоляция выполнена двухслойной из несовершенного диэлектрика (удельные проводимости 1 = 5·10-8 См/м и 2 = 2·10 -8 См/м, относительные диэлектриче-ские проницаемости r1 = 2 и r2 = 5). Напряжение U = 10 кВ. Геометрические размеры – r1 = 1 мм, r2 = 2 мм, r3 = 3 мм.
Найти удельные тепловые потери в окрестности точки М, проводимости и ёмкости между телами, построить схему замещения системы. Кабель считать весьма протяжённым, а расчеты выполнить на единицу длины.
Дополнительно определить предельно возможную длину кабеля как линии электропередачи.
Воспользуемся аналогией между электрическим полем в проводящей среде и электростатическим. ёмкости слоёв данного кабеля:
C10 === 160,4 пФ/м;
C20 === 873,5 пФ/м.
Проводимости слоёв и всего кабеля на единицу длины:
g10 === 0,454·10-6 Cм/м;
g20 === 0,310·10-6 Cм/м;
g0 === 0,1842мкСм/м.
Электрическая схема замещения устройства.
Плотность тока в окрестности точки М:
= i0/(2r2) = 1,841·10-3/(2 ·2·10-3) = 0,147 А/м2;
Удельные тепловые потери в окрестности точки М в слоях изоляции по закону Джоуля-Ленца :
p1 = 2/1 = 0,1472/(5·10-8) = 0,432·106 Вт/м3 = 0,432 МВт/м3;
p2 = 2/2 = 0,1472/(2·10-8) = 1,08·106 Вт/м3 = 1,08 МВт/м3.
Задача 3. Заземлитель в виде шара
Заземлитель в виде шара расположен на сравнительно небольшой глубине h, соизмеримой с его радиусом R.
Применим к решению задачи метод зеркальных отображений. Заменим в верхней полуплоскости диэлектрик проводящей средойγ и зеркально расположим там такой же заземлитель, при этом граничные условия на поверхности земли не изменятся (линии вектора Е направлены по касательной вдоль поверхности). Заменим токи, стекающие с поверхностей обоих заземлителей, равными по величине точечными токами, растекающимися из электрических центров 1 и 2, которые будут смещены относительно геометрических центров так, чтобы сохранились прежними граничные условия на поверхности шаров (поверхности должны остаться эквипотенциальными с потенциалом φ=U).
После определения положения электрических центров расчет параметров поля в произвольной точке n производится по методу наложения:
.
При соотношении h>>R потенциал на поверхности заземлителя будет равен:
, откуда следует формула для определения сопротивления заземлителя:
.