2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)

Разноименно заряженные параллельные цилиндры (рис.2.8) расположены в воздухе и имеют размеры R1; R2; D. Задано напряжение между цилиндрами U. Определить линейную плотность зарядов (мкКл/м); на единицу длины емкость C ₀ (пФ/м) и энергию электростатического поля W0 (мДж/м).

Заменим по­верхностные за­ряды проводов осевыми + и -, проводящую среду  диэлек­триком так, чтобы на поверхно­сти проводов сохранились прежние условия, а именно: эти поверхности должны остаться эк­випотенциальными с теми же зна­чениями потенциалов и. Тогда согласно второму следствию из теоремы единственности поле в диэлектрике не изменится. Чтобы выполнить эти условия, электри­ческие оси проводов должны быть смещены относительно геометриче­ских осей на некоторые расстоянияh₁-b и h₂-b.

Рассчитываем геометрические параметры :

.

Потенциал любой точки равен:

,

Где k параметр линии потенциала при r₂/r₁=k=const.

Разность потенциалов цилиндров равна:

.

Учитывая, что:

>1; .

Аналогично: <1; .

Далее находим электрическую емкость цилиндров на единицу длины:

_{линейную плотность зарядов: .}

Для двухпроводной линии h₁=h₂=h, R₁=R ₂=R. Тогда:

.

Для воздушных линий (=1) межосевое расстояниеD многократно больше радиуса проводов R. В этом случае смещением электрических осей можно пренебречь (hb0) и счи­тать, что электрические оси проводов совпа­дают с геометрическими осями. Для таких линий полу­ченные выше расчетные фор­мулы будут иметь вид:

, .

2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами

Пусть два проводящих цилиндра радиусами исоответственно расположены в среде с диэлектрической проницаемостьюна расстоянии. Напряжение между цилиндрами равно. Длина цилиндровстоль велика, что искажением поля у торцов цилиндров можно пренебречь (,).

Разместим электрические оси так, чтобы поверхности цилиндров стали эквипотенциальными поверхностями в поле этих осей. Геометрические оси цилиндров обозначим соответственно и(рис. 2.9).

Положение электрических осей относительно геометрических (h₁, h₂, b) определяем из соотношений:

Значения потенциалов на поверхностях проводящих цилиндров рассчитаем следующим образом.

Оба цилиндра расположены в полуплоскости положительно заряженной оси, следовательно, и .

и .

Тогда потенциал поверхности внутреннего цилиндра равен:

.

Потенциал поверхности внешнего цилиндра получим в виде

.

Напряжение между цилиндрами запишем как

.

Поскольку напряжение известно по условию задачи, найдем заряд на единицу длины:

.

Следовательно, емкость цилиндров на единицу длины равна:

.

2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"

Цилиндрический провод расположен над проводящей плоскостью (землей). Заданны радиус провода R, высота подвески h (радиус R соизмерим с высотой h). К проводу приложено постоянное на­пряжение U .

Согласно второму следствию из теоремы единственности заменим прово­дящую среду диэлектриком, а поверхностные заряды провода и земли  двумя разноименно заряженными осями + и - так, чтобы остались неизменными прежние граничные условия:

1) поверхность земли должна быть эквипотенци­альной с потенциалом = 0;

2) поверхность провода должна быть эквипотен­циальной с потенциалом =U. Чтобы выполнить эти условия, электрическая ось+ должена быть смещена относительно геометрическиой оси на неко­торое расстоя­ние hb. Поверхностные заряды земли заменим зеркальным зарядом с противоположным знаком: -.

Положение электрических осей определяется из теоремы Аполония:

Таким образом, электростатическое поле, создаваемое двумя проводами с поверхно­стными зарядами σ, будет эквивалентным полю, которое создается двумя разноименно заря­женными осями + и -, и для его расчета можно при­менить полученные ранее формулы:

Потенциал провода:

.

Из полученного выражения вытекают расчетные формулы:

.

Если высота подвеса провода намного больше его радиуса, то смещением электриче­ских осей можно пренебречь (h  b0) и считать, что электрические оси проводов совпадают с геометрическими осями. В этом случае расчетные формулы будут иметь вид:

.