3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред

На границе раздела сред функции итерпят разрыв. Уравнения для этих точек применять нельзя.

Получим граничные условия.

На границе раздела двух сред с различными проводимостями ивы­делим точку и окружим ее элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами оснований (рис.3.2а).

Рис.3.2

Применяя первый закон Кирхгофа, получим:

.

Откуда следует, что

или .

На границе раз­дела двух сред с различными проводимостями равны нормальные составляю­щие вектора плотности тока .

Окружим точку элементарным прямоугольником (рис. 3.2б), у которого вы­сота беско­нечно мала по сравнению с длиной. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру прямо­угольника, получим:

.

Откуда следует, что

или .

На границе раздела двух сред с различными проводимостями иравны тангенциальные со­ставляющие вектора на­пряженности поля.

Разделим почленно левые и правые части полученных уравнений и учтем, что и, в итоге получим:

(7)

 условие преломления линий поля на границе раздела двух сред с различными проводи­мостями и.

3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока

Электрическое поле постоянного тока, с одной стороны, и электростати­ческое поле вне электрических зарядов (=0), с другой стороны, описываются одинаковыми по струк­туре математическими уравнениями.

Аналогия электростатического поля и поля стационарных токов в проводящих средах обусловлена полной аналогией соответствующих уравнений для областей, лишенных сторонних источников (зарядов и токов соответственно. Привем эти уравнения в табл.1.

Таблица 1

Электрическое поле постоянного тока	Электростатическое поле при отсут­ствии зарядов (=0)

По своей природе электростатическое поле и электрическое поле постоянного тока в проводящей среде различны. Первое из них является полем неподвижных зарядов, второе – полем зарядов, движущихся с постоянной скоростью. Между величинами, характеризующими эти поля, существует математическая аналогия, т.е. они входят в уравнения одинаковым образом. Другими словами, уравнения полей и соотношения, записанные относительно математически аналогичных величин, выглядят одинаково.

Если два поля удовлетворяют одним и тем же уравнениям (уравнения Пуассона–Лапласа) и в них выполняются тождественные граничные условия для сходных (математически аналогичных) величин, то при одинаковой форме граничных поверхностей на основе теоремы единственности решения можно сделать вывод о том, что совокупности силовых и эквипотенциальных линий в этих полях (картины полей) будут одинаковыми.

Электростатическое поле в области, где нет свободных зарядов, описывается уравнением Лапласа так же, как и электрическое поле постоянного тока в области, где нет сторонних сил. Граничные условия для двух полей подобны. Величины иявляются математически аналогичными. Можно сделать вывод об аналогии между зарядоми током. Существует аналогия и между емкостьюи проводимостью. Действительно, емкость между двумя телами, находящимися в среде с относительной диэлектрической проницаемостью, равна

. (8)

Проводимость между этими телами, помещенными в проводящую среду с удельной проводимостью можно записать как:

. (9)

Поделив (8) на (9), получим:

. (10)

Математически аналогичные величины, характеризующие электростатическое поле и электрическое поле постоянного тока, сведены в табл. 2.

Т а б л и ц а 2

Электростатическое поле ()		Электрическое поле в проводящей среде ()

Отмеченная аналогия лежит в основе расчета полей так называемым методом электростатической аналогии. Этот метод позволяет в ряде случаев при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми аналитическими решениями соответствующих задач электростатики, и наоборот, заменить исследование электростатического поля экспериментальным исследованием поля постоянного тока в проводящей среде. Последнее особенно важно при решении сложных задач электростатики, не имеющих аналитического решения. Так, согласно (10) можно рассчитать емкость по формуле

. (11)

Тогда, экспериментально измерив проводимость между телами (электродами), помещенными в проводящую среду, а также удельную проводимость среды, по выражению (11) легко определить емкость между этими телами в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью, поскольку геометрия полей в обеих задачах одинакова. Рассмотрим несколько примеров использования метода электростатической аналогии.

Метод электростатической аналогии.

Если в задаче с проводящими средами граничные поверхности имеют ту же форму и аналогичные граничные условия, что и в некоторой электростатической задаче, то можно использовать решение электростатической задачи, произведя в ней замену  на γ, D на δ, C на G.

Аналогичным же образом используется метод зеркальных изображений, в котором коэффициенты неполного отражения вычисляются по формулам: k₁ =,k₂ =.

В прикладных задачах по расчёту полей в проводящих средах чаще всего требуется определить токи утечки и тепловые потери в изоляции кабелей и конденсаторов, а также параметры растекания тока заземлителей.