- •Основы теории электромагнитного поля
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Общие сведения о теории электромагнитного поля
- •1.1. Понятие поля. Скалярные и векторные поля
- •1.2.Основные векторные величины, характеризующие электромагнитное поле
- •1.3. Виды плотности тока
- •1.4.Основные уравнения Максвелла и их физический смысл
- •1.4.1.Закон полного тока
- •1.4.2. Закон электромагнитной индукции
- •1.4.3. Принцип непрерывности магнитной индукции
- •1.4.4. Теорема Гаусса (постулат Максвелла)
- •1.4.5. Система уравнений Максвелла
- •1.5.Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
- •1.6.Частные виды электромагнитных полей
- •Вопросы для самопроверки
- •2.Электростатическое поле
- •2.1. Закон Кулона
- •2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме
- •2.3. Электрический потенциал
- •2.4.Картина поля.
- •2.5.Потенциал заданного распределения заряда
- •2.5.1.Потенциал и напряженность электрического поля диполя
- •2.6.Уравнение Пуассона и Лапласа
- •2.7. Поляризация вещества. Вектор поляризации
- •2.8.Проводники в электростатическом поле. Электростатическое экранирование
- •2.9. Граничные условия в электростатическом поле
- •2.9.1.Граничные условия для составляющих векторов поля.
- •2.9.2.Граничные условия для потенциала
- •2.10.Теорема единственности решения
- •2.11.Электрическая емкость
- •2.12. Энергия электростатического поля
- •2.13. Силы, действующие в электростатическом поле
- •2.14.Расчет электростатических полей
- •2.14.1. Поле уединенной равномерно заряженной оси
- •2.14.2. Метод наложения. Поле двух параллельных разноименно заряженных осей
- •2.14.3.Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров (двухпроводной линии)
- •2.14.4.Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
- •2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
- •2.14.6.Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля)
- •2.14.7.Метод зеркальных изображений. Поле заряженной оси, расположенной вблизи границы раздела двух диэлектриков (задача Сирла)
- •2.14.8.Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •2.14.9. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции (емкостные коэффициенты) и частичные емкости системы проводников.
- •2.14.10.Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли
- •2.14.11. Электрическое поле и емкость трехфазной линии электропередачи
- •2.14.12. Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
- •2. Находим напряженность электрического поля как .
- •2.14.13. Метод разделения переменных. Проводящий шар в однородном электростатическом поле
- •3. Электрическое поле постоянного тока
- •3.1. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами
- •3.2.Электрическое поле постоянного тока в проводящей среде
- •3.2.1. Уравнения и основные соотношения электрического поля постоянного тока
- •3.2.2.Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред
- •3.2.3. Методы расчета электрических полей постоянного тока
- •3.4.Задачи Задача 1
- •Задача 2. Расчет тока утечки между двумя жилами коаксиального кабеля
- •Задача 3. Заземлитель в виде шара
- •Задача 4.
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Магнитное поле постоянных токов
- •4.1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах
- •4. 2. Векторный потенциал магнитного поля
- •4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал
- •4.4.Граничные условия в магнитном поле
- •4.3.1. Граничные условия для векторного потенциала магнитного поля
- •4.3. Скалярный потенциал магнитного поля
- •4.3. Магнитное поле цилиндрического проводника с током
- •4.4.Магнитное поле коаксиального кабеля
- •4.5. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле
- •4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии
- •4.7. Взаимная индуктивность двух параллельных линий
- •4.8.Соответствия электростатического (электрического) поля и магнитного поля постоянного тока в областях, не занятых током
- •4.9. Графический метод построения картины поля
- •4.10.Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитныхтел. Методзеркальных изображений
- •4.11.Магнитное экранирование
- •Вопросы для самопроверки
- •5. Переменное электромагнитное поле
- •5.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •5.2 Плоская гармоническая волна в диэлектрике
- •5.3. Плоская гармоническая волна в проводящей среде
- •5.4. Магнитный поверхностный эффект в плоском листе
- •5.5.Электрический поверхностный эффект
- •5.6.Эффект близости
- •5.7. Поверхностный эффект в круглом проводе
- •5.8. Экранирование в переменном магнитном поле
- •5.9.Высокочастотный нагрев металлических деталей и несовершенных диэлектриков
- •5.10. Излучение электромагнитной энергии
- •Вопросы для самопроверки
- •Приложение Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
- •Литература
5.6.Эффект близости
До сих пор рассматривалось прохождение переменного тока по уединенному проводнику. Если поблизости от проводника, поле в котором исследуется, есть другой проводник с током, то, естественно, что второй проводник влияет на картину поля в первом проводнике. В результате этого влияния активное сопротивление такого провода, как правило, увеличивается по сравнению с активным сопротивлением уединенного провода. Влияние близлежащих проводников с током на комплекс сопротивления исследуемого проводника называют эффектом близости.
Рассмотрим эффект близости на примере двух плоских шин, близко расположенных одна к другой (рис. 5.5, а).
Рис.5.5
Одна шина является прямым проводом, другая обратным. Если расстояние между шинами 2в такого, же порядка, что и толщина шин (2а) и много меньше высоты h, то можно показать, что с известной степенью приближения напряженность магнитного поля в пространстве между шинами в два раза больше напряженности магнитного поля от одной шины в непосредственной близости от шины. А снаружи шин напряженность магнитного поля примерно равна нулю.
Для того чтобы убедиться в этом, воспользуемся принципом наложения. На рис. 5.5,б дан вид на пластины с торца. Сплошные стрелки на рис. 5.5 представляют напряженность поля от левой шины, пунктирные от правой. В пространстве между шинами напряженности складываются, снаружи вычитаются. В результате оказывается, что напряженность поля в пространстве между шинами H=2·I/2h=I/h, а снаружи шин напряженность магнитного поля равна нулю. Найдем постоянные интегрирования в выражении = Ċ1epz +Ċ2e-pz.
При z= –a 0 = Ċ1e-pa +Ċ2epа. При z = a – İ/h = Ċ1epa +Ċ2e-pа.
Отсюда Ċ1= –İepa/(2h sh 2pa) и Ċ2= İe-pa/(2h sh 2pa).
Следовательно,
= – İ(epa+pz–e-pa-pz)/2h sh 2pa= – İ sh p(a+z) /(h sh 2pa) и
напряженность электрического поля Ė=pİch p(a+z)/(γh sh 2pa).
Если придавать z значения от – а до а, то по написанным выше формулам могут быть построены кривые изменения модулей Ė и в функции от z. Такие кривые качественно изображены на рис.5.6.
Рис.5.6
Для правой шины кривые построены на основании симметрии поля. Если не учитывать искажающего действия торцов, то электромагнитная волна в каждую из шин проникает только через поверхности их, обращенные друг к другу. Через наружные поверхности электромагнитная волна не проникает, так как там Н = 0. Комплекс сопротивления одной шины на единицу длины
Zвн.1=.
Рассмотрим числовой пример. Пусть ток в 10 а течет по двум таким же шинам, с которые рассматривали в предыдущем параграфе (h =2 см, 2а = 0,1 см). Одна из шин является прямым проводом, другая обратным. Подсчитаем комплекс сопротивления одной шины на единицу длины с учетом эффекта близости и сравним его с сопротивлением уединенной шины( когда эффекта близости нет):
th 2pa = (sh 3,74+j sin 214˚)/(ch 3,74+ cos 214˚) = 1,04e-j1˚30′.
Следовательно,
Zвн.1=p/(σhth 2pa) =18,7√2ej45˚/(5,6·107·21,04·e-j1˚ 30′) = 22,5·10-4e-j46˚ 30′;
R=15,7·10-4 Ом/м; Хвн=16,34·10-4 Ом/м.
Таким образом, влияние второй шины на поле в первой шине привело к тому, что активное сопротивление одной шины возросло с 9,5·104до15,7·104Ом/м.
Для определения комплекса полного сопротивления единицы длины петли, образованной двумя шинами, кроме собственного сопротивления самих шин, надо учесть еще индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами.
Последнее равно:
Хвнешн = ωLвнешн = ω Фвнешн/I = (ωμ0H·2в·1)/I =μ0ω2в/h.
Комплекс полного сопротивления единицы длины петли
Zполн=2R вн+j (2Хвн + Хвнешн).
В качестве примера найдем комплекс полного сопротивления на 1 м длины линии, составленной двумя шинами предыдущей задачи, если 2в =0,4·10-2 м.
Хвнешн=(1,256·10-6·105·0,4·10-2)/2·10-2=2,51·10-2 Ом/м,
Zполн=3,14·10-3+j 28,4·10-3 Ом/м.