диметрия, в которой плоскость xOz параллельна картинной плоскости. На такой проекции аксонометрические оси O'x' и O'z' взаимно перпендикулярны и показатели искажения по ним равны единице и u=w=1. Направление оси O'y' и показатель

искажения v могут быть выбраны произвольно (рисунок 9.5).

ГОСТ рекомендует направление оси O'y' выбирать

по биссектрисе угла xOz, принимая v = 0,5. Этот вид проекции называют еще кабинетной проекцией.

Рисунок 9.6

В различных отраслях практической деятельности применяются и другие виды косоугольных проекций, например, кавальерная (косоугольная изометрическая фронтальная проекция), военная перспектива (горизонтальная изометрическая проекция рисунок 9.6) и др.

10 Развертки поверхностей

Фигура, получающаяся при совмещении всех точек поверхности с плоскостью (без складок и разрывов), получила название развертки. Поверхности же, допускающие такую операцию, называют развертывающимися.

Построение разверток является важной практической задачей, что связано с изготовлением множества

изделий из листового материала (резервуары и трубы, изделия швейной и кожевенной промышленности и т.п.). Из физической модели процесса развертывания поверхности на плоскость следует, что площадь отсека

поверхности должна быть равна площади отсека плоскости на развертке.

Свойство сохранения площади влечет за собой справедливость следующих двух утверждений: длины соответственных линий поверхности и ее развертки равны, углы, образованные линиями поверхности, равны углам, составленным их образами на развертке. Углом между двумя линиями поверхности в их точке пересечения называют угол, составленный касательными, проведенными к кривым в точке.

Это в свою очередь приводит к следующему: прямая поверхности отображается на прямую развертки; параллельные прямые поверхности отображаются на параллельные прямые развертки.

На этих свойствах и базируются графические и машинные алгоритмы построения разверток.

Из дифференциальной геометрии известно, что к развертывающимся поверхностям относятся только поверхности нулевой кривизны (состоящие только из параболических точек). У этих (линейчатых) поверхностей касательные плоскости, проведенные во всех точках одной образующей, совпадают.

Изо всего множества линейчатых поверхностей развернуты на плоскость могут быть только: цилиндрические, конические и торсовые. Развертки для них строятся приближенно. В процессе построения развертки эти поверхности аппроксимируются (заменяются) многогранными поверхностями. Последнее вызвано тем, что спрямление кривых линий базируется на замене их ломаные. Точные развертки аппроксимирующих многогранных поверхностей принимают за приближенные развертки развертываемых поверхностей.

10.1 Развертки гранных поверхностей

Процесс получения развертки гранной поверхности сводится к совмещению с плоскостью ее граней. Для гранной поверхности всегда можно построить развертку.

По способу нормальных сечений призма

пересекается плоскостью , перпендикулярной ее боковым ребрам. Затем определяются длины сторон ломаной линии (сечения) и она (ломаная)

развертывается в отрезок прямой.

Через точки, соответствующие вершинам ломаной, проводятся прямые, перпендикулярные к ней. На построенных перпендикулярах откладываются натуральные длины соответствующих отрезков ребер. Концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых.

При необходимости к построенной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются натуральные фигуры оснований призмы.

Способ нормальных сечений эффективен, если ребра призмы являются линиями уровня. Если же при этом основания призмы расположены в плоскостях уровня, то реализуется частный случай этого способа - способ раскатки.

Построение развертки поверхности пирамиды сводится к отысканию истинных величин граней этой призмы и последующему совмещению их с плоскостью. Для нахождения истинных величин граней необходимо (какимлибо способом) найти натуральные длины всех ребер пирамиды.

10.2 Приближенное построение разверток

Выше было отмечено, что для всех поверхностей строятся приближенные развертки. Однако для таких, как цилиндрическая и коническая поверхности вращения, могут быть вычислены все параметры необходимые для точной развертки.

Отсек цилиндра вращения радиуса R и высоты h

развертывается в прямоугольник h×l (l=2πR). Отсек конуса вращения с высотой h и радиусом

основания R развертывается в круговой сектор, радиус которого равен длине образующей отсека конической

поверхности (l = h2 + R2 ),а его центральный угол α=2π R/l.

Построение разверток поверхностей начинается с аппроксимации их многогранными поверхностями, базирующейся на линейной аппроксимации направляющих.

Как правило, кривая заменяется вписанной ломаной. Проиллюстрируем все выше сказанное примерами.

Развертка боковой поверхности усеченного конуса вращения представлена на рисунке 10.3.

Развертывание боковой поверхности усеченного конуса, в общем случае, производится по схеме развертывания поверхности пирамиды.

Коническая поверхность заменяется вписанной в нее поверхностью пирамиды. Построение развертки будет тем точнее, чем больше граней имеет пирамида, заменяющая коническую поверхность.

Рисунок 10.3 Развертка конуса Истинные величины отрезков образующих (А1,…

,K7), определятся на очерковой образующей конуса. Развертка боковой поверхности наклонного

кругового цилиндра показана на рисунке 10.4.

Рисунок 10.4

На первом этапе в цилиндрическую поверхность вписывается призма, основанием которой служит

многоугольник с n сторонами. Достаточная точность аппроксимации может быть получена при длине стороны равной четверти радиуса окружности. В силу того, что рассматриваемая поверхность симметрична относительно фронтальной плоскости уровня, достаточно построить развертку лишь одной ее половинки.

Развертка вписанной призмы выполняется по способу раскатки.

Некоторая фронтальная плоскость совмещается с ребром АА'. Затем с ней совмещаются боковые грани призмы последовательным вращением их вокруг соответствующих ребер.

Вращением вокруг ребра АА' грань АВВА совмещается с плоскостью. Построение совмещенного положения ребра ВВ' базируется на том, что точки В и В' вращаются в плоскостях перпендикулярных ребру АА', и равноотстоят от точек А, А'. Для построения точек В и В' на развертке через их фронтальные проекции В2 и В2' проводятся следы фронтально-

проецирующих плоскостей , ' АА', на которых фиксируется положение точек В. Далее, аналогичным