прямой АВ с плоскостью Р. Проекции точки пересечения S1 и S2 найдутся по соответствию принадлежности этой точки прямой АВ.

7 Кривые линии

Проектирование обводов сложных технических форм напрямую связано с вопросом конструирования кривых по наперед заданным условиям. Последнее в большой степени обусловлено способом задания и формирования кривых.

Принято рассматривать кривые по отношению их к трехмерному пространству. Если кривые полностью принадлежат гиперпространству (двумерной плоскости)

расширенного Евклидова пространства Е+3 ,то такие

кривые называет плоскими. Все остальные кривые относят к пространственным.

Вобщем случае кривые рассматриваются, как результат пересечения поверхностей. В этом смысле плоские кривые являются результатом пересечения поверхности с плоскостью.

Все кривые на чертеже задаются проекциями, которые являются плоскими кривыми, поэтому большая честь раздела и посвящена конструированию плоских кривых.

Впрактической работе проектировщику приходится иметь дело с двумя большими классами кривых: представляющих дуги простых кривых (графиков функций)

исоставных (сложных). Составные кривые, получившие в технике название обводов, конструируются из ряда дуг простых с соблюдением заданных условий на стыках.

7.1 Дифференциальные характеристики кривой

Рисунок 7.1

Форма и характер поведения плоской кривой в окрестности любой точки определяется ее дифференциальными характеристиками.

К основным характеристикам плоской кривой относят

касательную t, нормаль n и кривизну ρ (рисунок 7.1). Касательная (в точке P) - предельное положение секущей 12 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к

точке P(xр,yр). Уравнение касательной имеет вид

y = yр + f'(xр)(x-xр) ,

где f'(xр)) - первая производная в точке x = xр.

Нормаль - линия перпендикулярная касательной в фиксированной точке кривой.

Кривизна - величина, обратная значению радиуса

круга кривизны кривой ρ=1/R в фиксированной точке Р, определится уравнением

ρ = y"/ (1+y'2)3/2

где штрихи означают дифференцирование по x . Круг кривизны - предельное положение соприкасающейся окружности 1P2 при бесконечном

приближении точек 1 и 2 к точке P(xр,yр).

Приведенные уравнения показывают, что касательная и кривизна не являются полными аналогами первой и второй производной (такая аналогия принята в вычислительной математике), хотя и связаны с ними.

7.2 Особые точки кривых

"Поведение кривой" можно оценить и по типу точек, которые она несет на себе (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 - Точки кривой

Точка кривой, в которой определена единственная касательная, называется обыкновенной (регулярной).

Если в обыкновенной точке (A, B, C, D) кривизна достигает экстремального значения (например, ноль), то такая точка называется специальной. К специальным

точкам относятся точки перегиба M, точки экстремума(

вершины кривой B, D) и несобственные точки S∞ и Q∞ (рисунок 7.2).

В точке перегиба ветви кривой расположены по разные стороны от касательной, кривизна в ней рана нулю (радиус кривизны стремится к бесконечности). Несобственная точка - это точка пересечения кривой с несобственной прямой плоскости. Такие точки на чертеже задаются асимптотами.

Точка кривой, в которой не определено положение касательной, получила название особой. К таким

точкам относят (рисунок 7.3) узловые точки А, точки возврата C и D , излома K , перекрещения L, точки изолированные B, асимптотические М и точки самоприкосновения E.