На первом этапе допустимо использование первого подхода, в дальнейшем желательно базироваться на втором.

Вметодическом пособии приняты следующие условности и обозначения.Рассматривается расширенное Евклидово пространство Е3+. Основным элементом пространства является точка.

Все объекты такого пространства рассматриваются, как множества точек. В качестве характеристики множества выступает его размерность. Точка представляется нульмерным множеством, линия - одномерным множеством точек, а поверхность двумерным множеством точек (при рассмотрении каркасов поверхность представляется одномерным множеством линий).

Пособие построено на базе синтетической начертательной геометрии, в которой все элементы пространства моделируются симплексами. Симплексы объектов большей размерности конструируются на базе симплексов меньшей размерности.

Вцелях уменьшения объема пособия в тексте применяются широко используемые в математике

обозначения операций такие, как Ç - пересечение множеств, È - объединение множеств, Î -

принадлежность элемента множеству, ^ - перпендикулярность и т.д.

1 Конструктивное отображение пространства

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения пространства на плоскость и способы графических решений стереометрических задач на чертеже.

Известны три основных способа отображения пространства: конструктивный, аналитический и аксиоматический.

Начертательная геометрия базируется на конструктивном способе отображения. Это и определяет основной метод начертательной геометрии - метод проецирования.

1.1 Проецирование

В математике, под проецированием понимают процесс установления однозначного соответствия между точками пространства и точками подпространств меньшей размерности.

Рисунок 1 - Проецирование

Применительно к задачам реального мира, в конкретизированном понимании этого процесса , проецирование - это установление однозначного соответствия между точками трехмерного пространства и точками плоскости.

Один из вариантов установления такого соответствия это проведение прямых. Аппарат проецирования, в этом случае представляет из себя

плоскость проекции или картинную плоскость П и центр проецирования S (точка не лежащая в этой плоскости).

Соответствие устанавливается с помощью прямых L, которые получили название проецирующих прямых или проецирующих лучей. В том случае, кода точка S действительная точка пространства говорят о центральном проецировании.

Модель такого проецирования приведена на рисунке 2. В этой модели точке А, расположенной в пространстве соответствует в картинной плоскости точка А1. Эта точка А1 получила название проекции

точки А. Проекция А1 получается в результате пересечения проецирующей прямой AS с плоскостью

проекции П.

Для этой модели характерно следующее:

а)точке в пространстве соответствует единственная проекция (т.к. через две точки А и S можно провести одну единственную проецирующую прямую),

б)проекции точек, лежащих на линиях лежат на проекциях этих линий,

Рисунок 2-Схема центрального проецирования

в)для точек, расположенных в плоскости Σ, параллельной плоскости П и проходящей через точку S, нет возможности получить проекции.

Также не определена проекция точки S, г)проекцией прямой, в этой модели является прямая

(АС →А1С1), д) проекция отрезка прямой, лежащей на проецирующей

линией, вырожденная. Концы проекций отрезка совпадают (АВ →А1В1).

Проекцию линии можно получить, проецируя из центра S ряд точек, принадлежащих этой кривой. Полученная проекция будет единственной для данной линии при заданном положении центра S и Р. В этом случае проекция может рассматриваться как результат пересечения конической поверхности Q с картинной плоскостью П.

Рисунок 3 - Схема проецирования линии

Следует отметить, что проекция линии и центр проекций не определяют положения линии в пространстве: на конической поверхности можно разместить множество линий, дающих в одну и туже проекцию.

Центральное проецирование иначе называют коническим, т.к. проецирующими поверхностями является различного рода конусы.

Перенос центра проецирования S в ∞ позволяет несколько улучшить модель проецирования. Вопрос о невозможности получать проекции реальных объектов отпадает.

Рисунок 4 - Схема параллельного проецирования

Проецирующие прямые переходят в параллельные (такие прямые пересекаются в несобственной точке). Исходная модель переходит в модель параллельного проецирования.

Все свойства при этом сохраняются.