Рисунок 5.3 - Проецирование прямого угла
5.4 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности, также, как и параллельности, вводится через определение.
5.4.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.
При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, для определенности заданной следами(рисунок 5.4).
Рисунок 5.4 - Перпендикулярность прямой и плоскости
В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные
соответствующим проекциям линий уровня (t1 h1, t2 h2), в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть
приняты за проекции прямой t Р.
В том случае, когда точка К не лежит в плоскости
Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5). Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:
а)Через произвольную точку А плоскости Р проводятся
горизонталь h и фронталь f (в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости Р2 и Р1 ).
б)Из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные
прямые (t1 h1, t2 h2). Линия t принимается за перпендикуляр опущенный из точки К к плоскости Р.
в)Определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и Р.
Рисунок 5.5 - Расстояние от точки до плоскости
5.4.2 Перпендикулярность плоскостей
Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или через прямую.
При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.6).
Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).
Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в
плоскости Р. линии, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят
перпендикуляр к плоскости Р. |
Рисунок 5.6 - Перпендикулярность плоскостей
Фиксирование точки В на этом перпендикуляре t позволяет провести через эту точку произвольную прямую s. Пересекающиеся прямые t и s определят плоскость Q, которая по определению будет перпендикулярна плоскости Р.
Если точка А лежит вне плоскости Р, то линии, проходящие через нее и перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам),
определят перпендикуляр t к плоскости Р. Проведение