Жанр (род) кривой определяется, как разность между возможным для данного порядка и существующими количествами двойных (совпавших) точек. Кривые нулевого порядка называют рациональными. Эти кривые нашли широкое применение для описания гидро - и аэродинамических профилей.

7.4Конические сечения

Кривые, получающиеся при пересечении прямого кругового конуса плоскостью, называются кониками или коническими сечениями (рисунок 7.5).

Рисунок 7.5

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, то в сечении (в общем случае) получается окружность. При прохождении такой плоскости через вершину конуса окружность вырождается в точку.

Плоскость, пересекающая конус одновременно по всем образующим, позволяет получить эллипс.

Плоскость, параллельная образующей, отсекает параболу. В частном случае, когда секущая плоскость касается образующей, парабола вырождается в две совпавшие прямые.

Плоскость, параллельная оси вращения, отсекает гиперболу. В частном случае, при прохождении плоскости через саму ось, получаются две пересекающиеся

прямые.

Наиболее употребительные графические способы построения дуг кривых второго порядка основаны на методах проективной геометрии. В соответствии с рисунком 7.6 дуга кривой второго порядка может быть определена тремя точками и касательными в двух

точках. Например, точки А, В, С и касательные tА и tВ.

Рисунок 7.6

Порядок построения точек дуги коники следующий: строится треугольник АТВ, где tАÇtВ, а затем внутри этого треугольника - точки Mi кривой второго порядка.

Для построения текущей точки дуги объединяются точки А, В и C. Проводится произвольная прямая l, которая в пересечении с прямой ВC определит положение точки N. Точка N соединяется прямой с точкой Т пересечением касательных. Пересечение прямых NТ и АC позволяют получить точку Р. Положение текущей точки дуги коники Mi найдется в пересечении прямых ВР и АN.

Меняя положение точки N можно получить множество точек дуги кривой второго порядка.

Изменение положения точки С приведет получению другой формы коники. Такая возможность управления формой кривой широко используется в инженерной практике, для чего введено понятие инженерного дискриминанта.

В этом случае точка С задается на медиане DT АТВ. Инженерный дискриминант f определяется из

отношения f = CD/TD. Он характеризует тип коники: при f<0.5 - это дуга эллипса, при f=0.5 - дуга

параболы, при f>0.5 - дуга гиперболы.

В отдельных случаях удобнее, если известен тип коники, построение кривой может быть значительно упрощено. Например, парабола может быть построена,

как пропорциональная кривая (рисунок 7.7).

Рисунок 7.7

Исходная информация для построения дуги параболы:

граничные точки А, В и точка пересечения касательных

Т.

Отрезки АТ и ВТ делятся точками 1 и 2 пополам.

Прямая 12 также делится пополам. Точка М - точка параболы.

Затем процесс повторяется (в обе стороны): граничные точки А, М и точка пересечения касательных 1 и т.д.

Рисунок 7.8

Эллипс удобнее стоить по его полуосям (большой ОВ и малой ОА).Для построения эллипса проводятся две соосные окружности радиусами ОВ и ОА (рисунок 7.8). Проведение произвольной прямой ОС и дальнейшее

построение "ключа" (треугольника СDМ со сторонами параллельными осям эллипса) позволяет определить положение текущей точки эллипса М.

7.5Плоские обводы

Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых (кривых сформированных из дуг простых).

Втехнике такие кривые получили название обводов,

вматематике они более известны, как сплайны

(spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных (уравнений стыкующихся кривых) в точках стыка.

Наиболее простой вариант построения составной кривой из дуг окружностей.

Окружности могут сопрягаться таким образом, что в точках стыка будут располагаться общие касательные. Такой стык соответствует первому порядку гладкости (совпадают только первые производные).

Для построения этого обвода используется идея радиусо-графического сопряжения дуг окружностей. Исходной информацией является точечный ряд (1,2,3,...,n) и касательная на одном из концов

этого ряда (например, ti).