Рисунок 3.8 - Горизонтальная плоскость уровня

Характерным признаком плоскости уровня (на чертеже) является вырождение симплекса в прямую линию, параллельную оси чертежа (при задании плоскости симплексом) или же параллельность одного из следов оси чертеже (при задании следами).

Вопрос о взаимном расположении плоскостей в пространстве решается однозначно - плоскости пересекаются по прямой линии. В частном случае, параллельные прямые пересекаются по несобственной прямой.

4 Позиционные задачи

Задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических объектов в пространстве, традиционно называют позиционными.

Поскольку Начертательная геометрия изучает

объекты расширенного Евклидова пространства Е+n, то к

изучению позиционных задач логично привлечь некоторые выводы линейной алгебры, которая также занимается

изучением объектов Е+n.

В линейная алгебре утверждается, что для всех объектов пространства справедливо выражение (в соответствии с рисунком 4.1)

N = m1 + m2 - p,

где N - размерность рассматриваемого пространства,

m1 и m2 - размерность объектов этого пространства,

p - размерность пересечения этих объектов. Очевидно, все позиционные задачи, с точки зрения

линейной алгебры, можно свести к определению вида и размерности пересечения.

Рисунок 4.1

Полагая, что рассматриваемое пространство трехмерно, при вычислении размерности пересечения, исходное выражение примет вид

p = m1 + m2 - 3.

Заметим, что этот подход позволяет определить только и только размерность объекта.

Рассмотрим вопрос о принадлежности точки прямой точки и прямой плоскости. Особенность решения этих вопросов заключается в том, что прямая и точка на чертеже задаются проекциями, а плоскость соответствием трех пар точек.

4.1 Принадлежность точки и прямой

Вопрос о принадлежности точки прямой решается на основе свойств (особенностей) метода проецирования.

Точка лежит С на прямой АВ, если ее проекции, в соответствии с рисунком 4.2, лежат на одноименных

проекциях прямой С1 А1В1, С2 А2В2.

Рисунок 4.2 - Принадлежность точки прямой

В геометрии принято считать, что прямая принадлежит плоскости, если две ее точки (действительные или несобственные) принадлежат этой плоскости.

Рисунок 4.3 - Прямая в плоскости

В соответствии с рисунком 4.3 прямая АВ лежит в плоскости Р. Это обуславливается тем, что точка А лежит на следе Р2, а точка В на следе Р1.

При условии, что одна из точек плоскости, через которые проходит прямая, лежит на следе и является несобственной (в соответствии с рисунками 4.4 и 4.5), прямая общего положения переходит в прямую частного положения (линию уровня).

В плоскости различают горизонтальную линию уровня

h (рисунок 4.4) и фронтальную линию уровня f

(рисунок 4.5).

В силу специального расположения следов (Р1 и Р2)плоскости они также являются линиями уровня. След Р1 является горизонталью, а Р2 - фронталью плоскости.

Фронтали и горизонтали плоскости получили название главных линий плоскости.

Рисунок 4.4 - Горизонтальная линия уровня

Рисунок 4.5 - Фронтальная линия уровня

Рисунок 4.6 - Точка в плоскости

Вопрос о принадлежности точки плоскости можно свести к предыдущей задаче. Достаточно добиться того,