Тема 11. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички виконання статистичних оцінок параметрів розподілу в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Точковими оцінками параметрів розподілу генеральної сукупності називають такі оцінки, які визначаються одним числом.

Точковою незміщеною статистичною оцінкою для

- є ;

- є виправлена дисперсія , де n – обсяг вибірки.

Величину називають виправленим середнім квадратичним відхилення.

Якщо об'єм вибірки малий, то точкові оцінки можуть давати значні похибки, тому питання точності оцінок у цьому випадку дуже важливе і використовують інтервальні оцінки.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами — кінцями інтервалу.

Різниця між статистичною оцінкою та її оцінювальним параметром , взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме , де є точністю оцінки.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки параметра за називають імовірність

Найчастіше число задається наперед і, залежно від обставин, воно дорівнює 0,95 або 0,99 або 0,999.

Інтервал називають довірчим, якщо він покриває невідомий параметр із заданою надійністю .

Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу дорівнюватиме

-при відомому : ,

де х знаходиться з рівності , - функція Лапласа;

- при невідомому : ,

тут обчислюємо за заданою надійністю і числом степенів вільності за таблицею ([1] додаток 3).

Задачі для розв’язання

1. 200 однотипних деталей були піддані шліфуванню. Результати вимірювання наведені як дискретний статистичний розподіл:

xi	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4.3	4,4
ni	1	22	40	79	27	26	4	1

Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для , .

2. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо генеральне середнє квадратичне відхилення =2, вибіркове середнє =5,4, а обсяг вибірки n=36.

3. Результати вимірювання х_і подані у табл.:

xi	1,5	1,8	2,3	2,5	2,9	3,3
ni	2	3	5	8	4	3

З надійністю побудувати довірчий інтервал для .

4. Знайти мінімальний обсяг вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання а генеральної сукупності по вибірковій середній буде дорівнює , якщо відомо середнє квадратичне відхилення нормальне розподіленої генеральної сукупності.

5. Якого значення має набувати надійність оцінки , щоб за обсягу вибірки n=100 похибка її не перевищувала 0,01 при =5.

Т е с т и

Варіант №1

1. По вибірці обсягу n = 41 знайдена зміщена оцінка = 3 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральне сукупності.

а) 3,075; б) 2,93; в) 1,71 г) 1,75.

2. Знайти мінімальний об'єм вибірки, при якому з надійністю γ=0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності буде дорів­нювати 0,2. Відомо середнє квадратичне відхилення генеральної су­купності σ=1,5.

а) n=179; б) n=216; в) n=298; г) n=380.

Варіант №2

1. Результати вимірювання х_і подані у табл.:

	2.5	2.8	3.3	3.5	3.9	4.3
	1	4	6	7	5	3

З надійністю γ=0,999 побудувати довірчий інтервал для .

2. Знайти довірчий інтервал з надійністю 0,95 для оцінки невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо ²=16, =15, n=25.

а) (1,4; 1,5); б) (3,63; 3,77); в) (-14,2; -13,7); г) (13,43; 16,57).

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичне заняття №15