Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Тема 3. Схема незалежних випробувань

Мета роботи: набути теоретичні знання і практичні навички використання формул для розрахунку ймовірностей у повторних незалежних випробуваннях в ході розв’язання практичних задач.

План вивчення теми

1. Формула Бернуллі.

2. Найімовірніше число появи випадкової події (мода).

3. Локальна теорема.

4. Інтегральна теорема.

5. Використання інтегральної теореми.

6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій.

7. Проста течія подій.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями р і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю р відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто р + q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для п експериментів за схемою Бернуллі — елементарних подій.

1. Формула Бернуллі

Імовірність того, що в результаті п незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з'явиться т раз, подається у вигляді

(3.1)

Зауваження. Якщо імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р, то кількість n випробувань, які необхідно здійснити, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з'явиться хоча б один раз, знаходять за формулою:

.

2. Найімовірніше число появи випадкової події (мода)

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті п незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке число т₀, для якого ймовірність перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Якщо ймовірності обчислюються за формулою Бернуллі (3.1), мають місце нерівності:

. (3.2)

Число т₀ називають також модою.

Отже, найімовірніше число виробів першого сорту серед 200 дорівнює 180.

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях іm пов'язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної та інтегральної теорем Муавра — Лапласа.

3. Локальна теорема

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з п незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р ,то для великих значень п і т імовірність того, що випадкова подія А настане т раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (3.3)

де називаєтьсяфункцією Гаусса, де

Властивості функції Гаусса:

1. визначена на всій осі абсцис; >0;

2. є функцією парною: = ;

3) .

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності такої випадкової події: виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.

Розв'язання. За умовою задачі маємо:

п = 400; р = 0,75; = 0,25; т = 290.

= 8,7; =;.

4. Інтегральна теорема

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з п незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то для великих значень п імовірність появи випадкової події від до раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

, (3.4)

де ,.

Інтегральна теорема має ще одну форму запису:

, (3.5)

Властивості функції Лапласа:

1. Ф(х) визначена на всій осі абсцис.

2. Ф(-х) = - Ф(х), отже, Ф(х) є непарною функцією.

3. Ф(0) = 0.