- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
Задачі для розв’язання
1. В урні 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль однакового розміру. Навмання взято одну кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде
а) синя або червона; б) біла, чорна або синя.
2. Стрілок влучить у "десятку" з імовірністю 0,05, в "дев'ятку" – з імовірністю 0,20, у "вісімку" – з імовірністю 0,6. Зроблено один постріл. Яка імовірність того, що а) вибито не менше 8 очок; б) вибито більше 8 очок?
3. У ящику 13 однотипних деталей, серед них 5 бракованих, інші стандартні. Навмання з ящика беруть 4 деталі. Яка ймовірність того, що всі деталі є бракованими або стандартними.
4. В умовах попередньої задачі знайти ймовірність того, що хоча б одна із взятих деталей буде стандартною.
5. В урні міститься 15 однакових куль пронумерованих від 1 до 15. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що номер кулі виявиться кратним 3 або 5.
6. Транспортування вантажу для замовника виконують два автопідприємства, кожне з яких повинно виділити для цього по одній вантажівці. Імовірність виходу на лінію вантажівки з першого автопарку дорівнює 0,7, а з другого – 0,6. Знайти імовірність того, що замовник одержить потрібні вантажівки.
7. Із колоди карт (32 карти) навмання взято одну. Яка імовірність того, що це дама, якщо відомо, що взято карту червоної масті?
8. У ящику лежить 12 білих, 8 чорних і 10 червоних куль. Навмання беруть 2 кулі. Яка ймовірність того, що ці кулі різного кольору, якщо відомо, що червона куля не витягнута.
9. З колоди 36 карт навмання витягують 2 карти без повернення. Знайти ймовірність того, що це будуть туз і король.
10. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Знайти ймовірність того, що на грані кубика випаде число кратне 3, а на монеті герб.
11. Прилад, що складається з n блоків виходить з ладу, якщо відмовляє один блок. Блоки працюють незалежно один від одного. Надійність кожного блоку p. Обчислити надійність приладу.
12. В урні 4 червоних, 5 синіх, 6 зелених куль. Навмання беруть 3 кулі. Яка ймовірність того, що вони будуть однакового кольору або мати різні кольори.
13. Система має два незалежно працюючих елемента. Імовірність їх відмови дорівнює 0,05 та 0,08 відповідно. Знайти імовірність відмови системи, якщо для цього достатньо відмови хоча б одного з елементів.
14. У майстерні на верстатах А, В, С виробляють 25%, 35% та 40% усіх деталей, причому вони мають 15%, 12% та 6% браку відповідно. Знайти імовірність того, що навмання взята деталь – бракована.
15. У першій урні 2 білих та 4 чорних кулі, а у другій урні – 3 білих та 1 чорна кулі. Із першої урни переклали у другу одну кулю. Знайти імовірність того, що куля, вийнята із другої урни після перекладання, буде білою.
16. У першому ящику 12 червоних та 6 білих куль. У другому – 15 червоних та 10 білих куль. Кидають гральний кубик. Якщо випаде кількість очок кратна 3, то навмання беруть кулю з першого ящика. Якщо випаде будь-яка інша кількість очок, то беруть кулю з другого ящика. Якою буде імовірність узяти червону кулю?
17. Серед N екзаменаційних білетів є n “щасливих”. Студенти підходять за білетом один за одним. У кого більша ймовірність витягнути “щасливий” білет – у того, хто тягне першим, чи у того, хто тягне білет другим?
18. У трьох ящиках маємо однакові деталі з різних заводів: у першому – 20 стандартних та 5 нестандартних деталей; у другому – 15 стандартних та 3 нестандартних; у третьому – 14 стандартних та 2 нестандартних. Із навмання взятого ящика навмання взята деталь, яка виявилася стандартною. Знайти імовірність того, що цю деталь взято з першого ящика.
19. У першій урні 10 куль, з них 8 білих. У другій урні 20 куль, з них 4 білих. Із кожної урни навмання взято по одній кулі, а потім із двох обраних навмання взято одну. Знайти імовірність того, що остання куля буде білою.
20. У першому ящику 8 білих та 6 чорних куль. У другому – 10 білих і 4 чорних. Навмання вибирають ящик і кулю. Відомо, що витягнута куля чорна. Знайти ймовірність того, що було обрано другий ящик.