1.5. Асиметрія і ексцес

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо , то випадкова величина X симетрично розподілена відносно М(Х). Оскільки має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — коефіцієнт асиметрії:

.

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності . Ексцес обчислюється за формулою

.

2. Біноміальний закон розподілу

Цей закон має вигляд

, (5.7)

і використовується у схемі Бернуллі, тобто у випадку незалежних повторних випробувань, в кожному з яких деяка подія з'являється з ймовірністю р.

Для біноміального розподілу: , .

2. Закон розподілу Пуассона

ДВВ X приймає злічену множину значень ( .) з ймовірностями

. (5.8)

Цей розподіл використовують в задачах статистичного контролю якості, в теорії надійності, теорії масового обслуговування, для обчислення: кількості вимог на виплату страхових сум за рік, кількості дефектів однакових виробів.

Для розподілу Пуассона: , .

2. Рівномірний розподіл

Означення 1. НВВ X розподілена рівномірно на проміжку , якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її ймовірностей на цьому проміжку стала, тобто

(5.9)

Величина сталої С визначається умовою нормування

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків.

Числовими характеристиками НВВ X, що розподілена за рівномірним законом, будуть

, .

2. Експоненціальний розподіл

Означення 2. Випадкову величину X називають розподіленою за експоненціальним законом, якщо щільність її ймовірностей має вигляд

(5.10)

де > 0 - параметр.

Експоненціальному розподілу задовольняють: час телефонної розмови, час ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп'ютера. Числовими характеристиками експоненціального розподілу будуть

, .

2. Нормальний розподіл

Означення 3. Випадкову величину X називають розподіленою нормально, якщо щільність її ймовірностей має вигляд

. (5.11)

Графік цієї функції називають нормальною кривою або кривою Гауса.

Для цього розподілу:

, .

Отже, математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру а цього розподілу, а середнє квадратичне відхилення дорівнює параметру .

Зауваження. Якщо випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами а та , то випадкова величина буде розподілена за нормованим нормальним законом і , .

7. Розподіл («хі-квадрат»)

Нехай ( - нормальні, нормовані незалежні величини, тобто їх математичне сподівання дорівнює нулю, середнє квадратичне відхилення дорівнює одиниці і кожна з них розподілена за нормальним законом. Тоді сума квадратів цих величин

розподілена за законом з степенями вільності.

Якщо величини зв'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад, , то число ступенів свободи буде .

Зауважимо, що розподіл визначається параметром – числом ступенів свободи . Коли зростає, розподіл прямує до нормального розподілу дуже повільно.

8. Розподіл Стьюдента

Нехай X - нормальна нормована випадкова величина, а - незалежна від X величина, яка розподілена за законом хі-квадрат з степенями свободи. Тоді величина

має розподіл, який називають розподілом або розподілом Стьюдента (це є псевдонім англійського статистика Вільяма Госсета) з степенями вільності.

При зростанні розподіл Стьюдента швидко наближується до нормального розподілу.

Питання для самоконтролю

1. Визначення нормального закону розподілу.

2. Як впливають параметри a,  на графіки функцій f(x), F(x) загального нормального закону.

3. Що називають нормованим нормальним законом?

4. Чому дорівнює Мо і Ме для нормального закону розподілу?

5. Навести визначення для нормального розподілу.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].