Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

в частных случаях специального вида множеств (например, точечных).

Приведенные этапы нечеткого вывода могут быть реализованы различным способом, в

зависимости от конкретной процедуры расчета, принятой в том либо ином этапе общего алгоритма. Однако логика и последовательность алгоритма нечеткого вывода сохраняется.

Для нечетких множеств может быть определена их нечеткая мера g A как отображение нечетких множеств A из универсума X в интервал [0.1] . Для ее корректного определения она должна удовлетворять ряду формальных и очевидных условий. Они состоят в трех очевидных условиях:

Мера пустого множества равна нулю;

Мера всего универсума X равна единице;

Предел меры последовательности монотонно сходящихся множеств есть мера множества служащего предельным для последовательности.

Можно ассоциировать нечеткую меру с обычной длинной, площадью или объемом. Таким

образом, можно прийти к понятию нечеткого интеграла от функции h x : X [0,1] по нечеткой

мере g A на множестве A X . Определяется он следующим образом:

H x h x .

Смысл это выражения состоит в том, что его значением служит ожидаемая величина h x

, которая называется «нечеткое ожидание». Это другой способ дефазификации результатов обработки нечетких множеств, который, впрочем, в силу произвола в выборе меры мало чем

201

отличается по содержательности результатов от приведенных выше способов типа центра тяжести. Аналогично может быть определен нечеткий интеграл по нечеткой мере от нечеткого множества A :

1.5.7. Нечеткие петрофизические композиции.

Взаимосвязанные переменные, заданные экспериментально, должны быть представлены

в виде нечетких переменных X и Y , заданных системой нечетких чисел x и y , соответственно.

Каждое из них имеет свою функцию принадлежности X x , Y y ; и нечеткое отношение

R X Y между X и Y , задано в виде функции принадлежности R X Y (x, y). Для конструирования функции принадлежности R X Y (x, y) может быть использована различная

базовая система функций принадлежности из рассмотренных выше, либо им аналогичных, в

качестве которой, в частности, выбрана экспоненциальная. Сравнительный анализ показал малую критичность результатов к особенностям выбора базовых функций принадлежности при условии их положительности, строгой выпуклости и ограничении значения между нулем и единицей.

Могут быть выбраны и другие, отличные от (1.5.2) зависимости, однако результаты моделирования достаточно устойчивы по отношению к выбору вида аналитической зависимости для x, y, x в том случае, если функция принадлежности одномодальна и симметрична.

Пусть, далее таким же образом определено нечеткое отношение между переменными Y

и Z . Как и выше, результаты измерений для Z представляют собой значения для каждого y (из

202

некоторой достаточно малой окрестности) набора обычных чисел zy j , соответствующих значению y . Эти результаты эксперимента могут быть представлены в виде функции принадлежности R Y Z ( y, z) для нечетких чисел z , при условии значения нечеткой переменной Y , равного y . Для этого можно воспользоваться, как и в случае с нечетким числом

y, аналитической зависимостью y, z, y в качестве которой, например, может выступать:

y, z, y exp( z z y 2 )

y (1.5.3)

среднего z y , характерного для значения y ).

Задача нечеткого моделирования в данном случае [7-10] состоит в том, чтобы найти

нечеткое отношение между X и Z или, что то же самое – функцию принадлежности для

отношения между X и Z . Это и есть нахождение нечетких петрофизических композиций между функциями принадлежности с целью исключения промежуточных нечетких переменных (в

R X Z R X Y R Y Z по алгоритму Мамдани. Это лишь один из достаточно

широкого перечня алгоритмов композиции. Его использование оказалось весьма эффективным.

Детализировано этот алгоритм расчета состоит в следующем. Для каждого x из интервала его универсального множества X , который обозначим D X , и каждого z из интервала универсального множества для Z , который обозначим D Z , рассчитаем функцию g(x, z, y) ,

значение которой есть минимальная величина из двух значений R X Y x, y и R Y Z ( y, z) .

Далее, в соответствии с правилом Мамдани вычисления композиции отношений, находим наибольшее из значений g(x, z, y) по y . Это и есть требуемая функция принадлежности для

нечеткого отношения R X Z : R X Z x, z max g(x, z, y) .

y D Y

Таким образом, алгоритм нечеткого моделирования применительно к анализу экспериментальных данных состоит в:

203

1. фазификации отношения между данными – их представления в виде функции принадлежности (1.5.2) одной переменной при условии принятия конкретного значения другой.

Итогом служит функция принадлежности для нечеткого отношения между парой переменных,

позволяющая оценить меру истинности любого прогнозируемого значения переменной по экспериментальным данным;

2. нечеткой композиции по Мамдани для случая систем данных с общими переменными.

Алгоритм позволяет построить функцию принадлежности для нечеткого отношения между переменными, в которых исключены промежуточные – переходные переменные (обозначены y

Y ). Итогом служит функция принадлежности для нечеткого отношения между парами данных с исключенными промежуточными параметрами (y Y ), позволяющая оценить меру истинности любого прогнозируемого значения конечной переменной z по начальной x , отражающую истинную информацию, содержащуюся в экспериментальных данных;

3. дефазификации установленных нечетких отношений, обеспечивающей переход от нечетких зависимостей к четким зависимостям, с оценкой меры их истинности.

Приведенные этапы являются ключевыми. Но наполнение каждого из них может быть существенно иным, чем приведенное. Фазификация может основываться на других предположениях о виде функции принадлежности. Они могут быть таковы, что включают многомодальные и несимметричные функции принадлежности. Но итогом все равно служит матрица, характеризующая отношение двух нечетких переменных. Выполнения композиции с полученными матрицами может быть основано не на принципе Мамдани и на одном из перечисленных выше методов композиции. Дефазификация также допускает ряд различных технологических реализаций.

Приведем некоторые примеры расчетов, демонстрирующих простоту и одновременную эффективность замены принципов установления корреляционных связей на принципы нечеткого моделирования.

1.5.8. Вычислительные примеры

Эксперимент № 1. Цель – рассмотрев множества точек, которые отражают экспериментально установленные отношения между X и Y, и Y и Z, провести их обработку по изложенному выше алгоритму нечеткого моделирования, чтобы, получить отношение между X и Z

(см. рис. 1.26).

204

7)далее, окно смещается: j 1 и процедура повторяется, начиная с пункта 4 ( j будет пробегать натуральные значения вплоть до Nx n ).

На рисунке 1.27 приведена поверхность в трехмерном пространстве, как результат

Рисунок 1.27 – Эксперимент № 1

По аналогии, на рисунке 1.28 приведена поверхность в трехмерном пространстве как результат фазификации отношения между Y и Z (получение функции y, z, y ) и кривая дефазификации ( y, z) , построенная по принципу: ( y, z)y yi max( ( y, z, ( y))y yi ) , где

yi – текущий элемент из Y.

Далее, получим нечеткое соотношение между Z и X: R X Z x, z max g(x, z, y) , с

y D Y

помощью нечеткой композиции по Мамдани. На рисунке 1.29 приведена поверхность в трехмерном пространстве как результат фазификации отношения между X и Z (получение

206

существует связь (в виде нечетких отношений), и по известным экспериментально начальным параметрам следует спрогнозировать конечные, путем исключения промежуточных. Например,

имеется нечеткое (в смысле не функциональное) отношение между электрическим сопротивлением и пористостью (для конкретного участка представленное как ранее полученные экспериментальные данные) с одной стороны и пористостью и проницаемостью с другой. Следует по измеренным электрическим параметрам в скважине спрогнозировать величину коэффициента проницаемости как нечеткую величину. Традиционно такая задача решается построением уравнений регрессии между парами величин и последующем исключении промежуточного параметра – пористости, из искомой зависимости между электрическими свойствами и проницаемостью пласта.

Построение и анализ корреляционных взаимосвязей между физико-геологическими параметрами составляет экспериментальный фундамент геофизических методов исследования,

подсчета запасов месторождений, прогнозирования и управления технологическими процессами,

в том числе процессами контроля за разработкой месторождений углеводородного сырья. Вне всякого сомнения, достоверность и надежность этих экспериментально установленных связей составляют основу эффективности всей последующей цепочки геолого-геофизических заключений и прогноза. Современная практика подходов в использовании экспериментальных данных основана на предположении существования корреляционных зависимостей между изучаемыми параметрами, вид которых и перечень входящих в них параметров постулируется априори. Это основополагающее – краеугольное предположение. Для нахождения этих зависимостей и, в

частности, параметров, их характеризующих, используются, в частности, приемы статистической обработки данных. Тем самым, в конечном итоге, осуществляется замена реального экспериментального материала полученными законами и некоторой интегральной, т.е.

характерной для всей зависимости в целом, оценкой меры тесноты связи (например,

коэффициента корреляции для линейных связей или дисперсионного отношения для нелинейных). Далее найденный закон переносится на изучаемый объект с интегральной оценкой его уровня доверия (в лучшем случае). Этот путь является общим и является источником ошибочных заключений, которые «стоят» достаточно дорого. Эти ошибки состоят от неверно выбранных условий вскрытия и режимов эксплуатации скважины, до ошибок в точках заложения скважин и заключений о запасах и ресурсах углеводородного сырья регионов. Источники этих ошибок состоят, во-первых, в ошибочном переносе связей, полученных в одном районе

(территории, скважине, интервале) на другой. Это достаточно известное обстоятельство и, в

целом, контролируется контрольными наборами значений. Во-вторых, в необходимости при использовании статистических методов обработки пользоваться достаточно спорными предположениями. Эти предположения состоят, например, в том, что заранее «на основе изучения характера измеренных величин», допускается возможность подмены реального

208

измеренного материала некоторым видом априорно заданных типов аналитических зависимостей. Здесь сразу два слабых места. Первое – это вид принимаемой зависимости.

Линейный, экспоненциальный и так далее. И, даже если осуществляется выбор наилучшего из заданного перечня, сам перечень зависимостей остается субъективным выбором и не содержится в анализируемых данных. Второе – это предположение, реализуемое в процессе нахождении параметров конкретной зависимости о том, что все, что не укладывается в эту зависимость, есть шум – мусор разной интенсивности. Конечно это ошибка. Но и это еще не все. Далее для того,

чтобы были приемлемы методы статистической обработки – например, метод наименьших квадратов для построения уравнения регрессии, необходимо вводить предположение о характере вероятностного закона для этого шума. Например, предположение о том, что погрешности – а сюда относится все, что не укладывается в априори принятый тип зависимости – распределены по нормальному закону. Это вносит дополнительную компоненту риска ошибочности выводимых таким образом заключений. Во-первых, не все, что не укладывается в принимаемую модель, есть мусор. А во-вторых, случайные величины не обязаны подчиняться какому либо закону распределения. Это внешнее предположение, и оно достаточно ограничительно. Введение корреляционных зависимостей и, в частности, использование уравнений регрессии, как их реализации – это, по сути своей, подмена объективно неопределенной информации о параметрах, полученной экспериментальным путем, некоторой упрощенной до выщелачивания сути неопределенности аналитической моделью, в которой теряется самое главное свойство реальных данных – их нечеткость, неопределенность. Нечеткость и неполнота сведений подменяется предположением о наличии регулярных ошибок, введением случайных величин, имеющих некоторые определенные регулярные законы распределения (а не систематические погрешности).

Другой подход к анализу экспериментальных данных и прогнозу параметров, минуя построение уравнений регрессии, основан на понятийном аппарате теории нечетких множеств,

отказе от рассмотрений зависимостей, имеющих корреляционный характер. Вместо этого рассматриваем экспериментальные данные как нечеткие множества и для установления и оперирования присущими им взаимозависимостями используются методы теории нечетких множеств и нечеткого моделирования. В такой форме применяемый аппарат по своим потенциальным возможностям адекватен смысловому содержанию и точности исходных данных Оперирование данными как нечеткими является более объективным. Оно не только позволит избежать ошибочных выводов связанных с заменой реального материала его выхолощенным аналогом, но и дать в конечном итоге реальное представление о мере возможности тех либо иных и альтернативных к ним заключений.

Приведем далее, с минимальными изменениями, работу Кобрунова Александра Ивановича, Кулешова Владислава Евгеньевича, Могутова Александра Сергеевича – «Повышение

209

достоверности подсчёта запасов углеводородов на основе метода нечётких петрофизических композиций», послужившую основой доклада на SPE 1212 году SPE – 162038, которая иллюстрирует и основные этапы метода петрофизических композиций при прогнозировании параметров, и методы оценки объективности построений и подсчета запасов, основанной на идеологии нечеткого подхода.

Прежде всего, проиллюстрируем неадекватность гипотезы о нормальном законе при анализе реального экспериментального материала о физических свойствах горных пород.

На рис. 1.30 приведена кривая, характеризующая полигон распределения для коэффициента пористости по одному из месторождений Тимано-Печорской нефтегазовой провинции. Как видно, эта кривая весьма далека от нормального закона распределения.

Рисунок 1.30 – Поли модальность природных законов

Метод петрофизических композиций основан на теоретических принципах построения композиции Мамдани и нечётких композиций в целом. Он включает в себя следующие этапы:

1.Фазификацию, состоящую в представлении исходных данных в виде нечетких множеств

инечетких переменных;

2.Установление цепочки нечетких отношений между парами исходных данных;

3.Расчет композиций нечетких отношений для установления отношений между начальными и конечными параметрами в цепочке (на основе композиции Мамдани);

4.Продолжение найденной композиции в область задания исходных параметров для

прогноза;

5.Выполнение прогноза и определения параметров, как нечетких величин;

6.Дефазификацию установленных нечетких отношений, обеспечивающую переход от

нечетких к четким зависимостям с оценкой меры их истинности.

210