Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

подмены реального измеренного материала некоторым видом аналитических зависимостей.

Здесь сразу два слабых места. Первое – это вид принимаемой зависимости. Линейный,

экспоненциальный и так далее. Второй – это предположение о том, что все, что не укладывается в эту зависимость, есть шум разной интенсивности. Но и это еще не все. Далее, для того, чтобы были приемлемы методы статистической обработки – например, метод наименьших квадратов для построения уравнения регрессии, необходимо предположение о характере вероятностного закона для этого шума. Например, предположение о том, что погрешности распределены по нормальному закону. Это вносит дополнительную компоненту риска ошибочности выводимых таким образом заключений. Между тем совершенно необязательно использовать математический аппарат XVIII века для решения задач XXI. Использование уравнений регрессии – это, по сути подмена неопределенной информации о параметрах, полученной экспериментальным путем, некоторой упрощенной до выщелачивания сути аналитической моделью, в которой теряется самое главное свойство реальных данных – их нечеткость,

неопределенность. Нечеткость и неполнота сведений подменяется наличием регулярных ошибок.

Здесь под термином регулярные ошибки понимается не систематические, а имеющие некоторые определенные регулярные законы распределения. Между тем, сам факт существования распределения вероятности для некоторой величины – это очень жесткое предположение.

Применяемый формальный аппарат по своим потенциальным возможностям должен быть адекватным смысловому содержанию и точности исходных данных. Оперирование данными как нечеткими является более объективным. Оно не только позволит избежать ошибочных выводов связанных с заменой реального материала его выхолощенным аналогом, но и дать в конечном итоге реальное представление о мере возможности тех либо иных и альтернативных к ним заключений. Математической основой такого моделирования с использованием свойств реальной информации является теория нечеткого моделирования, основанная на нечетких множествах, нечеткой логике и нечетких операторах.

Понятие «множества» и «логические операции» лежат в основе математики. Можно с уверенностью говорить о принадлежности заданного элемента тому либо иному множеству, либо делать это с определенной вероятностью. В любом случае это вполне определенное заключение,

состоящем в определении меры принадлежности элемента A множеству X . Если эта мера равна единице, то элемент, конечно, принадлежит выделенному множеству. Если же эта мера равна, например, некоторой части от меры множества X , то мы говорим о «доле» A в X или о вероятности встречи A в X . В последнем случае неопределенность – это неопределенность исхода эксперимента по проверке гипотезы о принадлежности A к X . Однако подобного сорта неопределенность – это стохастическая неопределенность, в которой сам вывод принадлежности

A к X по результатам эксперимента делается наверняка. Например, если элемент A – это наличие геологической границы в заданном интервале глубин, и бурением граница не вскрыта, то

181

это может еще и означать, что рассматриваемой геологической границы нет. К не вскрытию могло привести нарушение технологии бурения и вскрытия платов, аварийные ситуации на скважине, не отображенные в дневнике бурения, субъективные причины или то, что именно в этом месте нарушается сплошность границы. При надлежащем подходе и с большой затрате сил можно эту ситуацию пересчитать в вероятностные меры и, в конечном итоге определить вероятностные меры для невскрытия границы в A несмотря на ее существование. Однако ситуация может быть усложнена, если вопрос стоит о том – является ли эта граница крутопадающей или обладает еще каким либо отличительным качеством. Здесь мы сталкиваемся с лингвистическими неопределенностями типа «погода хорошая», «погода плохая», условия проведения изыскательских работ хорошие или условия проведения изыскательских работ плохие, а может быть средние, а может быть «так себе». Более строго определить предмет, о котором говорим,

можно так. Пусть множества произвольной природы, например, данные, относящиеся к

182

Если свойств Ai несколько, то таких таблиц будет несколько. Другой способ изображения

– графический, где по оси абсцисс откладываются названия (или величины) параметров x j X , а

по оси ординат – значения соответствующей функции принадлежности.

Приведенное определение отличается от задания вероятностей на множестве Ai как формально, например тем, что сумма всех функций принадлежности не должна быть равной единице, как это имеет место в теории вероятностей для полной системы случайных событий, так и по существу. В теории вероятностей речь идет о полностью определенных событиях, имеющих разную вероятность своего появления. Нечеткое множество относится скорее к описанию свойства и определению того, в какой мере то или иное подмножество подходит этим свойством обладает. Например, можно говорить о том, что с вероятностью 0.7 завтра будет плохая погода.

Эта вероятность ничего не говорит о наших предпочтениях в выборе погодных условий для прогулки.

Пустое нечеткое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента.

Универсум – это, собственно, само множество X , элементы которого сравниваются по принадлежности к A .

Носителем AS нечеткого множества A называются те его элементы, для которых функция принадлежности отлична от нуля – AS x X : A x 0 .

Множества могут содержать как конечное число элементов, и тогда нечеткое множество может быть определено списком, пример которого дан выше, так и бесконечное. В последнем случае A x – суть функция, определенная на X , а само множество записывается в виде

A x A x или A x, A x .

Множество -уровня или – сечение – это обычное множество A из носителя, такое,

что A x X : A x . Ясно, что – число из интервала (0,1].

Высота hA нечеткого множества A равна верхней грани значений функции

принадлежности hA sup x .

x X

Нормальным называется нечеткое множество, для которого верхняя грань в определении высоты достигается и равна единице.

Субнормальным называется нечеткое множество, для которого верхняя грань в определении высоты может и не достигаться, но равна единице.

Ядро A1 нечеткого множества A – это множество из универсума, для элементов которого функция принадлежности равна единице A1 x, A x 1 .

183

Рисунок 1.20 – Функция принадлежности

Всякое нечеткое множество A можно сделать субнормальным, если пронормировать его

Граничными элементами нечеткого множества A называются те элементы универсума,

для которых функция принадлежности равно нулю либо единице. Иными словами, граница – это универсум «минус» носитель.

Точка перехода нечеткого множества – это те элементы универсума, для которых функция принадлежности равна 0.5.

Ближайшее четкое множество Al к нечеткому A называется множество из универсума со значениями функции принадлежности более чем 0.5.

При построении функции принадлежности, эксперт сам должен сделать сравнительные высказывания о величине этой функции для различных элементов множества. Это можно сделать в табличном виде, либо выбрав некоторую систему аналитических зависимостей, поинтервальное определение которых имитирует значение оцениваемой экспертом значений.

В качестве таких функций A x f x, a,b,... могут использоваться, например,

линейные функции типа

184

Рисунок 1.21 – Линейная функция принадлежности

Подбор параметров a, b, c позволяет получить достаточно широкий класс функций

Рисунок 1.22 – Функция правдоподобия в виде сплайна

185

Колоколообразные:

Экспоненциальные:

их линейные, поинтервальные комбинации и многое другое.

Выбор начальной функции принадлежности относится к числу субъективных шагов и должен быть осуществлен экспертами. Однако после того, как система предпочтений для всех рассматриваемых нечетких множеств, используемых в моделировании построена, а их, как правило, очень много, в дело вступают формальные правила оперирования нечеткими множествами и правила нечеткой логики.

1.5.2 Операции над нечеткими множествами

Нечеткое множество полностью определено своей функцией принадлежности. Поэтому

операции над нечеткими множествами сводятся к операциям и переопределениям функции принадлежности. Эти операции возможны лишь тогда, когда функции принадлежности имеют один и тот же универсум.

Нечеткое подмножество M нечеткого множества A , имеющие общий универсум X ,

название для подмножества – специфичное для нечетких множеств: A доминирует над M .

Пересечением A M двух нечетких множеств A и M , заданных на одном и том же универсуме, называется нечеткое множество S с функцией принадлежности

S x min A x , M x .

186

A x

A x

Рисунок 1.24 – Операции над нечеткими множествами

Операции над нечеткими множествами отображают логические операции «И», «Или», «Не» в области нечетких высказываний, и наиболее видимое отличие этих высказываний от классической логики состоит в том, что в них не выполняется закон исключения третьего и закон тождества. Точнее, вообще говоря, справедливо:

A A

A A A

В обычной логике высказываний в последних соотношениях вместо неравенства должно стоять строгое равенство. Или элемент принадлежит множеству или его дополнению. Третьего не

188

A A

8. Законы де Моргана:

A M A M .

Все приведенные выше операции носят несколько произвольный характер. Они могут быть определены и иным, альтернативным способом. Но все трансформируются в привычные логические операции, если множества четкие. Обобщением операций над нечеткими множествами – иным определением, служат нечеткие операторы. Они действуют на множестве функций принадлежности и определяются как операции над ними. Среди них наиболее значима треугольная норма (T -норма), которая определена как бинарная операция T из [0,1]x[0,1] в [0,1],

удовлетворяющая следующим аксиомам:

Типичной треугольной нормой является операция пересечения или min – операция над функциями принадлежности.

Другой вид треугольной нормы это конорма ( S -норма).

Треугольная конорма (S-норма), которая определена как бинарная операция S из

[0,1]x[0,1] в [0,1], удовлетворяющая следующим трем аксиомам:

Введение в рассмотрение T -нормы и S-нормы (конормы) дает другие возможные операторы конъюнкции и дизъюнкции (вместо логических «и» и «или»), но лишенные весьма ограничительного свойства дистрибутивности операций.

Приведенные свойства S-нормы полностью повторяют свойства Т-норм за исключением первого – ограниченности. Типичным примером, под который и формировалось определение,

служит операция объединения или max операция над функциями принадлежности.

Для конструирования решающих правил и нечетких заключений, касающихся оценки свойств изучаемых объектов, полезно, помимо собственно нечеткого множества, использовать

189

понятие нечетких отношений между множествами и нечетких отображений одних множеств в другие.

1.5.3 Нечеткие отношения.

Если задана система различных универсумов X i с нечеткими множествами Ai , то нечеткое отношение определено функцией принадлежности A x1 , x2 ,... , xi Xi , Это более

общее понятие, чем функция принадлежности Ai xi . Базисные множества Xi определяет

новый универсум X . По сути своей нечеткое отношение системы нечетких множеств Ai с

универсумами X i – это нечеткое множество AX на универсуме X Xi .

Нечеткие отношения устанавливаются не между всеми без исключения элементами X i , а

только выделенной частью из них. Если нечеткое отношение установлено для всех без исключения элементов xi Xi универсума X Xi , то такое отношение называется полным.

Любое отношение можно считать полным, если дополнить недостающие звенья отношения нулевой функцией принадлежности.

Бинарным отношением называется отношение, установленное между элементами двух универсумов – X1 и X 2 . При этом для бинарного отношения естественным образом определяется обратное к AX , где X X1 , X2 отношение:

A-X1 (xi , xj ) AX (xj , xi ) для любых xi X2 , xj X1 .

Примером нечеткого отношения может служить отношение, устанавливаемое результатами эксперимента, осложненного ошибками и влиянием неучтенных факторов между парами (или большим числом) переменных. Например, между пористостью и проницаемостью для коллекторов заданного типа. Прямая, приведенная на рисунке – это та зависимость, которой фактически подменяются исходные данные без учета их различной густоты и различной разбросанностью значений на разных подинтервалах. Более объективно считать, что пористость и абсолютная проницаемость в данном примере – суть нечеткие величины, между которыми установлены с помощью приведенного графика – разброса точек, нечеткое отношение.

190