- •Введение
- •Памятка студенту
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •1.1 Сущность аксиоматического метода
- •1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
- •1.3 Предмет математики
- •1.4 Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Тема 2: Элементы теории множеств
- •2.1 Основные понятия теории множеств
- •2.2 Способы задания множеств
- •2.3 Операции над множествами
- •2.3.1 Пересечение множеств
- •2.3.2 Объединение множеств
- •2.3.3 Вычитание множеств
- •2.3.4 Дополнение
- •2.4 Формула Грассмана
- •Тема3: Элементы математической логики
- •3.1 Введение
- •3.2 Высказывания и операции над высказываниями
- •3.3 Формулы логики высказываний
- •Тема 4: Элементы комбинаторики
- •4.1 Введение
- •4.2 Простейшие комбинаторные задачи
- •4.3 Правила умножения и сложения
- •4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей
- •5.1 Введение
- •5.2 Случайные события и их вероятности
- •1) Найти число n всех возможных исходов данного опыта;
- •2) Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
- •3) Найти количество n(а) тех исходов опыта, в которых наступает событие а;
- •4) Найти частное , оно и будет равно вероятности событияА.
- •5.3 Операции с вероятностями
- •Если а и в несовместны, то
- •Тема 6: Элементы математической статистики
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Основные понятия математической статистики
- •6.3 Характеристики и параметры статистической совокупности
- •6.4 Статистика – дизайн информации
- •6.4.1 Группировка информации в виде таблиц
- •6.4.2 Графическое представление информации
- •6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
- •6.5 Числовые характеристики или «паспорт» выборки
- •1) Сложить все результаты, входящие в эту выборку;
- •2) Полученную сумму разделить на количество всех результатов.
- •1) Каждую варианту умножить на ее кратность;
- •2) Сложить все полученные произведения;
- •3) Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
- •1) Каждую варианту умножить на ее частоту;
- •2) Сложить все полученные произведения.
- •6.6 Экспериментальные данные и вероятности событий
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •7.1 Два подхода к построению моделей
- •7.2 Три типа моделей
- •7.3 Что такое математическое моделирование?
- •7.4 Основные этапы математического моделирования
- •7.5 Классификация моделей
- •7.6 Примеры математических моделей
- •1) Задача о движении снаряда.
- •2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
- •3) Транспортная задача.
- •4) Задача о радиоактивном распаде.
- •5) Задача о коммивояжере.
- •1. Построение модели.
- •6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
- •7) Задача об определении надежности электрической цепи.
- •8) Задача о диете.
- •7.7 Выводы
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вавилония и Египет Вавилония
- •Греческая математика Классическая Греция
- •Александрийский период
- •Упадок Греции
- •Индия и арабы
- •Средние века и Возрождение Средневековая Европа
- •Возрождение
- •Начало современной математики
- •Достижения в алгебре
- •Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Современная математика
- •Неевклидова геометрия
- •Математическая строгость
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2: Элементы теории множеств Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 3: Элементы математической логики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вопросы к экзамену (зачету)
Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
Задание 1. После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения, с помощью которой: а) определите объем выборки; б) найдите наиболее часто встретившуюся варианту; в) дополните к таблице третью и четвертую строки из частот и процентных частот вариант; г) найдите сумму чисел в третьей и четвертой строках.
1.1
|
Варианта |
-3 |
0 |
4 |
5 |
9 |
11 |
12 |
15 |
20 |
|
Кратность варианты |
12 |
9 |
1 |
64 |
34 |
56 |
7 |
8 |
9 |
1.2
|
Варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Кратность варианты |
12 |
9 |
10 |
11 |
9 |
9 |
1.3
|
Варианта |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
Кратность варианты |
10 |
12 |
15 |
20 |
28 |
1.4
|
Варианта |
5 |
12 |
15 |
25 |
|
Кратность варианты |
3 |
6 |
10 |
15 |
1.5
|
Варианта |
10 |
20 |
40 |
80 |
120 |
|
Кратность варианты |
2 |
6 |
11 |
21 |
32 |
1.6
|
Варианта |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
|
Кратность варианты |
200 |
390 |
605 |
790 |
1000 |
1210 |
1.7
|
Варианта |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
|
Кратность варианты |
600 |
700 |
750 |
790 |
1400 |
1430 |
1.8
|
Варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Кратность варианты |
100 |
99 |
101 |
100 |
102 |
|
Варианта |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
|
Кратность варианты |
4 |
3 |
4 |
5 |
5 |
4 |
4 |
4 |
3 |
1.9
1.10
|
Варианта |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Кратность варианты |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
4 |
3 |
3 |
4 |
5 |
1 |
Задание 2. Для предыдущей задачи постройте многоугольник процентных частот.
Задание 3. По данным выборки: а) составьте таблицу ее распределения; б) постройте гистограмму распределения частот (%); в) найдите размах, медиану и моду выборки.
7, 8, 9, 7, 6, 7, 6, 9, 7, 8, 6, 7.
33, 42, 27, 33, 23, 26, 31, 43, 45, 44, 16, 36.
19, 23, 19, 43, 49, 25, 22, 19, 23, 28, 36, 36.
28, 28, 43, 45, 21, 43, 43, 49, 43, 48, 28, 21.
70, 78, 79, 70, 65, 70, 65, 79, 70, 78, 70, 65.
75, 85, 95, 75, 65, 75, 65, 95, 75, 85, 85, 95.
37, 48, 59, 37, 26, 37, 26, 59, 37, 48, 59, 26.
7, 18, 29, 7, 36, 7, 36, 29, 7, 18, 7, 36.
70, 80, 90, 70, 60, 70, 60, 90, 70, 80, 100, 80.
17, 8, 9, 17, 16, 17, 16, 9, 17, 8, 17, 8.
Задание 4. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:
|
хi |
2 |
3 |
5 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,6 |
|
хi |
2 |
4 |
5 |
|
pi |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
хi |
7 |
8 |
9 |
|
pi |
0,6 |
0,2 |
0,2 |
|
хi |
1 |
2 |
5 |
|
pi |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
хi |
4 |
10 |
20 |
|
pi |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
|
хi |
2 |
3 |
5 |
|
pi |
0,25 |
0,15 |
0,6 |
4.6
|
хi |
12 |
13 |
15 |
|
pi |
0,3 |
0,1 |
0,6 |
|
хi |
2 |
4 |
6 |
|
pi |
0,15 |
0,15 |
0,7 |
|
хi |
3 |
6 |
9 |
|
pi |
0,1 |
0,1 |
0,8 |
|
хi |
1 |
3 |
7 |
|
pi |
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Задание 5. Найти дисперсию случайной величины Х из задания 4.