- •Введение
- •Памятка студенту
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •1.1 Сущность аксиоматического метода
- •1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
- •1.3 Предмет математики
- •1.4 Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Тема 2: Элементы теории множеств
- •2.1 Основные понятия теории множеств
- •2.2 Способы задания множеств
- •2.3 Операции над множествами
- •2.3.1 Пересечение множеств
- •2.3.2 Объединение множеств
- •2.3.3 Вычитание множеств
- •2.3.4 Дополнение
- •2.4 Формула Грассмана
- •Тема3: Элементы математической логики
- •3.1 Введение
- •3.2 Высказывания и операции над высказываниями
- •3.3 Формулы логики высказываний
- •Тема 4: Элементы комбинаторики
- •4.1 Введение
- •4.2 Простейшие комбинаторные задачи
- •4.3 Правила умножения и сложения
- •4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей
- •5.1 Введение
- •5.2 Случайные события и их вероятности
- •1) Найти число n всех возможных исходов данного опыта;
- •2) Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
- •3) Найти количество n(а) тех исходов опыта, в которых наступает событие а;
- •4) Найти частное , оно и будет равно вероятности событияА.
- •5.3 Операции с вероятностями
- •Если а и в несовместны, то
- •Тема 6: Элементы математической статистики
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Основные понятия математической статистики
- •6.3 Характеристики и параметры статистической совокупности
- •6.4 Статистика – дизайн информации
- •6.4.1 Группировка информации в виде таблиц
- •6.4.2 Графическое представление информации
- •6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
- •6.5 Числовые характеристики или «паспорт» выборки
- •1) Сложить все результаты, входящие в эту выборку;
- •2) Полученную сумму разделить на количество всех результатов.
- •1) Каждую варианту умножить на ее кратность;
- •2) Сложить все полученные произведения;
- •3) Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
- •1) Каждую варианту умножить на ее частоту;
- •2) Сложить все полученные произведения.
- •6.6 Экспериментальные данные и вероятности событий
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •7.1 Два подхода к построению моделей
- •7.2 Три типа моделей
- •7.3 Что такое математическое моделирование?
- •7.4 Основные этапы математического моделирования
- •7.5 Классификация моделей
- •7.6 Примеры математических моделей
- •1) Задача о движении снаряда.
- •2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
- •3) Транспортная задача.
- •4) Задача о радиоактивном распаде.
- •5) Задача о коммивояжере.
- •1. Построение модели.
- •6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
- •7) Задача об определении надежности электрической цепи.
- •8) Задача о диете.
- •7.7 Выводы
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вавилония и Египет Вавилония
- •Греческая математика Классическая Греция
- •Александрийский период
- •Упадок Греции
- •Индия и арабы
- •Средние века и Возрождение Средневековая Европа
- •Возрождение
- •Начало современной математики
- •Достижения в алгебре
- •Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Современная математика
- •Неевклидова геометрия
- •Математическая строгость
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2: Элементы теории множеств Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 3: Элементы математической логики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вопросы к экзамену (зачету)
6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
Гистограммы особенно незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.). В этих случаях обработчику информации в первую очередь следует разумно выбрать шаг деления промежутка между наименьшей и наибольшей вариантами. Слишком маленький шаг даст слишком большое число участков и не упростит вычисления. Слишком большой шаг приведет к слишком серьезному искажению первоначальных данных. Так, если в разобранном выше примере в качестве шага взять 10, то вся гистограмма будет состоять из горизонтального отрезка на единичной высоте, т. е. информация будет утеряна. Идеальный случай, когда шаг вам уже кто-то заранее сообщил: учитель, учебник, руководитель, заказчик и т. п.
Если ширина столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию прямо и называютвыравнивающей функцией. Например, слева приведена гистограмма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.
Рисунок 6.7
Приведем пример из военного дела. Произвели 500 измерений боковой ошибки при стрельбе с самолета. На графике по оси абсцисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси ординат отложены частоты этих ошибок.
Рисунок 6.8
Пример из биологии: измерялся размер 12000 бобов. По оси абсцисс откладывались величины отклонений от среднего размера бобов, а по оси ординат соответствующие частоты.
Рисунок 6.9
Примеры взяты совершенно из различных областей, а графики функций, выравнивающих гистограммы, похожи друг на друга. Оказывается, что такому же закону распределения подчиняется распределение и горошин по размеру, и новорожденных младенцев по весу, и частиц газа по скоростям движения, и огромное количество других явлений окружающего нас мира. Подобно тому, как графики всех парабол получаются с помощью преобразований из одной-единственной параболы у = х2, так и все эти кривые распределения получаются из одной-единственной кривой. Ее называют кривой нормального распределения или, в честь немецкого математика Карла Гаусса, гауссовой кривой – она изображена на рисунке 6.10:
Эта «колоколообразная» кривая симметрична относительно оси ординат и имеет единственный максимум. Площадь части плоскости, ограниченной гауссовой кривой и осью Ох, равна единице. Ее «ветви» очень быстро приближаются к оси абсцисс: если найти площадь «под гауссовой кривой» на отрезке [-3; 3], то получится более 0,99, т. е. больше 99% всей площади. Для гауссовой кривой выбрано специальное обозначение у = φ(х). Аналитически она задается весьма сложно: .
Рисунок 6.10
Здесь, кроме знаменитого числа , используется не менее знаменитое числое, которое является основанием натурального логарифма; е ≈ 2,7.
Для практического использования приведенная «страшная» формула не нужна. Для значений этой функции составлены подробные числовые таблицы.
Для наглядной демонстрации нормального (гауссова) закона распределения иногда используют специальное устройство, названное по имени его изобретателя доской Гальтона (рис. 6.11). В нем падающие сверху шарики распределяются между правильными шестиугольниками и в результате попадают на горизонтальную поверхность, образуя картинку, похожую на «подграфик» гауссовой кривой.
Рисунок 6.11
Вот еще одна иллюстрация нормального закона распределения. Пассажиры метро бегут по переходу, выходящему на середину станции. Бегут они на поезд, стоящий напротив выхода из перехода. Платформа, у которой стоит поезд, равномерно разделена колоннами (рис. 6.12).
Рисунок 6.12
Ясно, что большинство пассажиров войдет в средние вагоны, а по мере удаления вагонов от центра количество садящихся в них людей будет уменьшаться. Распределение пассажиров по вагонам снова напоминает нормальное, или гауссово, распределение.