- •Введение
- •Памятка студенту
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •1.1 Сущность аксиоматического метода
- •1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
- •1.3 Предмет математики
- •1.4 Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Тема 2: Элементы теории множеств
- •2.1 Основные понятия теории множеств
- •2.2 Способы задания множеств
- •2.3 Операции над множествами
- •2.3.1 Пересечение множеств
- •2.3.2 Объединение множеств
- •2.3.3 Вычитание множеств
- •2.3.4 Дополнение
- •2.4 Формула Грассмана
- •Тема3: Элементы математической логики
- •3.1 Введение
- •3.2 Высказывания и операции над высказываниями
- •3.3 Формулы логики высказываний
- •Тема 4: Элементы комбинаторики
- •4.1 Введение
- •4.2 Простейшие комбинаторные задачи
- •4.3 Правила умножения и сложения
- •4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей
- •5.1 Введение
- •5.2 Случайные события и их вероятности
- •1) Найти число n всех возможных исходов данного опыта;
- •2) Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
- •3) Найти количество n(а) тех исходов опыта, в которых наступает событие а;
- •4) Найти частное , оно и будет равно вероятности событияА.
- •5.3 Операции с вероятностями
- •Если а и в несовместны, то
- •Тема 6: Элементы математической статистики
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Основные понятия математической статистики
- •6.3 Характеристики и параметры статистической совокупности
- •6.4 Статистика – дизайн информации
- •6.4.1 Группировка информации в виде таблиц
- •6.4.2 Графическое представление информации
- •6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
- •6.5 Числовые характеристики или «паспорт» выборки
- •1) Сложить все результаты, входящие в эту выборку;
- •2) Полученную сумму разделить на количество всех результатов.
- •1) Каждую варианту умножить на ее кратность;
- •2) Сложить все полученные произведения;
- •3) Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
- •1) Каждую варианту умножить на ее частоту;
- •2) Сложить все полученные произведения.
- •6.6 Экспериментальные данные и вероятности событий
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •7.1 Два подхода к построению моделей
- •7.2 Три типа моделей
- •7.3 Что такое математическое моделирование?
- •7.4 Основные этапы математического моделирования
- •7.5 Классификация моделей
- •7.6 Примеры математических моделей
- •1) Задача о движении снаряда.
- •2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
- •3) Транспортная задача.
- •4) Задача о радиоактивном распаде.
- •5) Задача о коммивояжере.
- •1. Построение модели.
- •6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
- •7) Задача об определении надежности электрической цепи.
- •8) Задача о диете.
- •7.7 Выводы
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вавилония и Египет Вавилония
- •Греческая математика Классическая Греция
- •Александрийский период
- •Упадок Греции
- •Индия и арабы
- •Средние века и Возрождение Средневековая Европа
- •Возрождение
- •Начало современной математики
- •Достижения в алгебре
- •Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Современная математика
- •Неевклидова геометрия
- •Математическая строгость
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2: Элементы теории множеств Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 3: Элементы математической логики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вопросы к экзамену (зачету)
4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
В предыдущем параграфе все примеры и упражнения сводились к выбору одного элемента из данного множества и подсчету количества таких выборов. А если необходимо выбрать большее число элементов данного множества? Начнем со случая выбора двух элементов.
Пример 10. В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?
Решение. Рассмотрим таблицу результатов встреч размером 7x7 (рис. 4.4).
Так как никакая команда не играет сама с собой, то клетки по диагонали надо закрасить. Тогда в подсчете числа встреч будет участвовать ровно 72 - 7 = 7(7 - 1) = 42 клетки. В результате закрашивания таблица разделилась на две половинки, в них результаты встреч команд дублируются. Поэтому если мы разделим оставшиеся 42 клетки на две равные половины, то получим число всех проведенных игр.
Рисунок 4.4
Коротко решение задачи выглядит так:
Ответ: 21.
Около 2500 лет тому назад древнегреческие математики находили сумму 1 + 2 + 3 + ... +(п – 1) + п с помощью примерно таких же рассуждений. Сначала они рисовали клетчатую лесенку, в основании которой – полоса из п клеток, над ней полоса, в которой (п – 1) клетка, затем полоса с (п – 2) клетками, и т. д.; в предпоследней строке стояли две клетки, а наверху – одна клетка. Правее они рисовали ту же лесенку, но в перевернутом виде: внизу – одна клетка, над ней – две, затем – три клетки, ..., а последняя строка состоит из п клеток (рис. 4.5).
Затем, сдвинув эти лесенки вместе, получали прямоугольник из п строк и (п + 1) столбца (рис. 4.6).
Рисунок 4.5
Число клеток в этом прямоугольнике равноп(п + 1). Значит, в каждой из двух равных между собой лесенок находится п(п + 1) ровно клеток.
Получилась замечательная формула для суммы первых п натуральных чисел:
Рисунок 4.6
Замечание. С помощью этой формулы можно несколько по иному найти сумму первых п членов арифметической прогрессии:
.
Вернемся к примеру 10. Состав участников игры определен, как только мы выбрали две команды. Значит, количество всех игр в турнире из п команд – это в точности количество всех выборок двух элементов из п данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т. е. если выбраны две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не важно.
Пример 11. Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?
Решение.
Первый способ. Можно, как и в примере 1, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем, рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно .
Второй способ. Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, ..., шестым. Всего 5 рукопожатий. Для второго неучтенными остались рукопожатия с третьим, четвертым, пятым, шестым. Всего 4 рукопожатия, и т. д. (рис. 4.7). Получаем, что рукопожатий было всего 5 + 4 + + 3 + 2 + 1 = 15. Ответ: 15.
Подведем промежуточный итог, оформив его в виде теоремы.
ТЕОРЕМА (о выборках двух элементов). Если множество состоит из п элементов, то у него имеется подмножеств, состоящих из двух элементов.
Иными словами, если множество состоит из п элементов и требуется выбрать из них два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести способами.
Пример 12. В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?
Решение. Для стирания с доски порядок вызова учеников не важен, т. е., к примеру, вызов Коли и затем Кати ничем не отличается от вызова Кати и затем Коли. А вот в первом случае порядок существенен (по крайней мере, для Кати и Коли). Тут применимо правило умножения. Учитель сначала вызывает решать алгебраическую задачу одного из 27 учеников, а затем независимым образом вызывает одного из оставшихся 26 учеников решать задачу по геометрии. Получается 27 • 26 = 702 способа вызова.
Если во втором случае начать считать, как и в первом, то любую пару учеников мы посчитаем дважды. Например, сначала Коля, потом Катя, или сначала Катя, потом Коля. Значит, количество вызовов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество вызовов с учетом порядка. Ответ: а) 702; 6) 351.
Это рассуждение верно и в общем случае выбора двух элементов из п данных. Оказывается, что всегда количество выборок двух элементов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество выборок с учетом порядка. На рисунке представлена соответствующая схема (рис. 4.8).
Из схемы мы видим, что комбинации, связанные с выбором двух элементов из п элементов, отличаются тем, что в некоторых из них важен порядок выбора элементов, а в некоторых – нет. Комбинации первого типа называются размещениями, а второго – сочетаниями. Для произвольного числа элементов определения комбинаций будут иметь следующий вид:
Комбинации из п элементов по т элементов, которые отличаются друг от друга самими элементами или их порядком, называются размещениями. Обозначается , где п – число всех имеющихся элементов, т – число элементов в каждой комбинации (т ≤n).
.
Сочетаниями называются все комбинации из п элементов по т, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (т и п – натуральные числа, т ≤ п).
или .
Символы и читаются в русской транскрипции так: «а из эн по эм» и «цэ из эн по эм» соответственно.
Пример 13. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?
Решение. Рассуждаем, как в примере 3. В первом случае важен порядок вызова учеников и применимо правило умножения. Один из 27 учеников идет решать задачу. Один из оставшихся 26 учеников идет за мелом, а один ученик из оставшихся 25 будет дежурным в столовой. Получается: 27 • 26 • 25 = 17550 способов вызова.
Во втором случае начнем действовать, вызывая учеников по порядку. Можно сначала вызвать Пашу, затем Вову и потом — Асю. Обозначим этот вариант (ПВА). Можно вызывать этих же ребят в другом порядке. Например, сначала Асю, затем Пашу и потом — Вову (АПВ). Буквы А, П, В можно расставить по порядку ровно Р3 = 3! способами. Во всех этих случаях состав хора будет одним и тем же. Значит, каждый состав хора при подсчете, учитывающем порядок вызова учеников, мы возьмем 3! раз. Поэтому количество различных составов хора в 3! раз меньше количества всех вызовов по порядку.
Итак, число способов, при которых порядок выбора трех элементов из 27 не важен, в 3! раз меньше числа способов, при которых порядок выбора трех элементов из 27 важен. Остается лишь учесть, что 3! = 3 • 2 • 1 = 6, и получить ответ: = 2925 способов.
Ответ: а) 17550; б) 2925.
Пример 14. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-нибудь попавшихся под лапы музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколько способов выбора есть у Мишки?
Решение. По условию порядок выбора не важен. Значит, нам требуется найти количество всех выборок 8 элементов из 13 данных без учета порядка, то есть число сочетаний из 13 элементов по 8:
.
Ответ: 1287.
Теперь посмотрим на число . С одной стороны, это количество выборок одного элемента из п данных, т. е., несомненно, =п. С другой стороны, по определению, . Значит, и здесь имеется полное соответствие. А теперь посмотрим на число . По определению это количество выборок п элементов из п данных. Но такой выбор единственен, то есть = 1. Если попытаться применить формулу из определения, то получим .
Возникает вопрос: что же такое «ноль факториал»? Математики поступили просто. Чтобы сохранить красивую и очень удобную формулу для чисел при любых целочисленных значенияхk (0 < k < п), решили, по определению, считать, что 0! = 1.
Тогда , что отлично согласуется с комбинаторным определением. При такой договоренности понятный смысл имеет и; получается, что.
Действительно, 0 элементов из п данных можно «выбрать» единственным способом — ничего не выбирая.
Справедлива формула .
В самом деле, ,.
Как видите, числители в обоих случаях одинаковы, а в знаменателе множители поменялись местами, что, естественно, не отражается на числовом значении выражения.
В чем польза полученной формулы? Представьте себе, что надо вычислить . Применив равенство, мы упростим вычисления: .
Рассмотрим пример, в котором используется и правило умножения из предыдущего параграфа, и теорема о числе сочетаний, полученная в этом параграфе.
Пример 15. Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Председателем может быть любой из участников собрания — 80 вариантов. Если председатель выбран, то секретарем может оказаться любой из оставшихся 79 человек — 79 вариантов. По правилу умножения получаем, что выбор председателя и секретаря осуществляется 80 • 79 = 6320 способами.
Если испытание А – выбор председателя и секретаря – завершено, то следует заняться испытанием Б – выбором трех членов редакционной комиссии из оставшихся 78 участников собрания. Редакционную комиссию выбирают списком, т. е. порядок выбора не имеет значения. Сделать это можно способами:.
Поскольку испытания А и Б предполагаются независимыми, остается лишь применить правило умножения:
6320 · 76076 = 480800320.
Ответ: 480800320 способов.
В тексте этого параграфа встречаются слова «выбор» и «выборка». Во избежание путаницы подчеркнем, что «выбор», как правило, означает сам процесс или факт совершения процесса выбирания. А «выборка» – это тот конкретный объект, который мы выбрали:
выборка – это результат выбора.
Подведем краткие итоги этого параграфа. Основной объект изучения в нем – числа . Главный результат состоит в том, что числа эти можно определять и считать и как количество всех выборокт элементов из п данных без учета порядка, и как .
Соберем вместе полученные сведения о числах .
-
0! = 1
= =1
= =п
Для чисел имеется очень красивый и удобный способ записи – в виде треугольной таблицы, ее называюттреугольником Паскаля.
Основная закономерность образования строк в этом треугольнике состоит в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.
Такие же вопросы мучили и людей, живших задолго до нас, поэтому придумали реальную ситуацию «вставлять» в рамки модели, т. е. строить упрощенный вариант жизненной проблемы, убирая на время ее решения те житейские неурядицы, которые независимые события могут превратить в зависимые. И именно за счет такого упрощения оказывается возможным получить ответ. Надо только точно понимать, что ответ относится к модели, а возможность применять этот ответ в реальной жизни следует проверять (рис. 4.9). Итак, реальные испытания вполне могут быть зависимыми между собой, а мы выбираем простейшие модели, в которых эти испытания предполагаются независимыми. И именно правило умножения помогает нам решать задачи про независимые проведения испытаний.
Не следует, конечно, думать, что такое «раздвоение» имеет место только в комбинаторных задачах. Например, при решении текстовых задач про «производительность труда» или про «пешехода» мы имеем дело с абстрактным заводом и абстрактным рабочим или же с путником, который с одинаковой скоростью и без устали шагает по прямолинейному шоссе. Когда в физике мы говорим о равномерном движении тела, то явно имеем дело с некоторой абстрактной моделью. Ведь в реальной жизни практически никакое физическое тело равномерно не движется никакое заметное время. Да и что такое физическое тело?
Контрольные вопросы
Сформулируйте правило умножения. Примеры.
Что такое п-факториал? Примеры.
Что называется перестановками из п элементов? Примеры.
Какие комбинации называются размещениями? Примеры.
Какие комбинации называются сочетаниями? Примеры.
Запишите формулы для нахождения перестановок, размещений и сочетаний.
Сформулируйте правило сложения. Примеры.