Тема 1: Аксиоматический метод

Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.

П.Дирак

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.

Евклид

1.1 Сущность аксиоматического метода

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма — понятие четырехугольника, для четырехугольника — понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями. Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.

Аксиома — это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.

К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А, неА.

Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

Система аксиом называется полной, если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А, либо неА.

Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой.

Теорема — это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.

Пример 2.

Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей». [10]

Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм». [10]

Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод. Сущность его состоит в следующем:

1. перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);

2. формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;

3. предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;

4. предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.