- •Введение
- •Памятка студенту
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •1.1 Сущность аксиоматического метода
- •1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
- •1.3 Предмет математики
- •1.4 Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Тема 2: Элементы теории множеств
- •2.1 Основные понятия теории множеств
- •2.2 Способы задания множеств
- •2.3 Операции над множествами
- •2.3.1 Пересечение множеств
- •2.3.2 Объединение множеств
- •2.3.3 Вычитание множеств
- •2.3.4 Дополнение
- •2.4 Формула Грассмана
- •Тема3: Элементы математической логики
- •3.1 Введение
- •3.2 Высказывания и операции над высказываниями
- •3.3 Формулы логики высказываний
- •Тема 4: Элементы комбинаторики
- •4.1 Введение
- •4.2 Простейшие комбинаторные задачи
- •4.3 Правила умножения и сложения
- •4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей
- •5.1 Введение
- •5.2 Случайные события и их вероятности
- •1) Найти число n всех возможных исходов данного опыта;
- •2) Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
- •3) Найти количество n(а) тех исходов опыта, в которых наступает событие а;
- •4) Найти частное , оно и будет равно вероятности событияА.
- •5.3 Операции с вероятностями
- •Если а и в несовместны, то
- •Тема 6: Элементы математической статистики
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Основные понятия математической статистики
- •6.3 Характеристики и параметры статистической совокупности
- •6.4 Статистика – дизайн информации
- •6.4.1 Группировка информации в виде таблиц
- •6.4.2 Графическое представление информации
- •6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
- •6.5 Числовые характеристики или «паспорт» выборки
- •1) Сложить все результаты, входящие в эту выборку;
- •2) Полученную сумму разделить на количество всех результатов.
- •1) Каждую варианту умножить на ее кратность;
- •2) Сложить все полученные произведения;
- •3) Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
- •1) Каждую варианту умножить на ее частоту;
- •2) Сложить все полученные произведения.
- •6.6 Экспериментальные данные и вероятности событий
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •7.1 Два подхода к построению моделей
- •7.2 Три типа моделей
- •7.3 Что такое математическое моделирование?
- •7.4 Основные этапы математического моделирования
- •7.5 Классификация моделей
- •7.6 Примеры математических моделей
- •1) Задача о движении снаряда.
- •2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
- •3) Транспортная задача.
- •4) Задача о радиоактивном распаде.
- •5) Задача о коммивояжере.
- •1. Построение модели.
- •6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
- •7) Задача об определении надежности электрической цепи.
- •8) Задача о диете.
- •7.7 Выводы
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вавилония и Египет Вавилония
- •Греческая математика Классическая Греция
- •Александрийский период
- •Упадок Греции
- •Индия и арабы
- •Средние века и Возрождение Средневековая Европа
- •Возрождение
- •Начало современной математики
- •Достижения в алгебре
- •Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Современная математика
- •Неевклидова геометрия
- •Математическая строгость
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2: Элементы теории множеств Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 3: Элементы математической логики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вопросы к экзамену (зачету)
Повышенный уровень
Задание 1. Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
а) Число слов в этом предложении равно семи; б) В четырехугольнике противоположные стороны равны; в) Во всяком четырехугольнике противоположные стороны равны; г) Существует наибольшее натуральное число.
а) Осень – лучшая пора года; б) Небо над Сицилией всегда голубое; в) Сожалею, но вы мне не нравитесь; г) Ни одно простое число не является четным.
а) Глина – это жидкость или газ; б) Из елки можно сделать палку, но из палки не сделаешь елку; в) Фенхель лучше всего растет на участках со сравнительно влажной, слегка кислой почвой; г) Некоторые птицы не летают.
а) Если воробей – птица, он летает; б) Каждый квадрат является ромбом; в) У ромба диагонали взаимно перпендикулярны; г) Когда идет дождь, все небо покрыто тучами.
а) Число является простым, если и только если оно делится только на единицу и на само себя; б) Холодный и пустынный дом; в) Если металл нагревается, он плавится; г) Неправда, что философские споры неразрешимы.
Задание 2. Формализуйте данные сложные высказывания:
а) «Лев Толстой написал роман «Воскресение» или он написал роман «Анна Каренина»»; б) «Тот, кто изучал геометрию, знает теорему Пифагора или, во всяком случае, слышал о ней, а если эта теорема ему неизвестна, ему нетрудно будет понять ее».
а) «Число 2 четное или оно простое»; б) «Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку».
а) «2 2 = 4 или белые медведи живут в Африке»; б) «Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно».
а) «Если Париж расположен на Темзе, то белые медведи обитают в Африке»; б) «Без Вас хочу сказать Вам много,/ При Вас я слушать Вас хочу».
а) «Если я – Наполеон, то у кошки четыре ноги»; б) «Люди получают высшее образование тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию».
Задание 3. По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получите фразу на естественном языке. 1) ; 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8).
а = «Теория Дарвина является научной»; b = «Теория Дарвина может быть подтверждена опытными данными»; с = «Теория Дарвина может быть опровергнута опытными данными».
а = «Свидетель был запуган»; b = «Свидетель видел преступника»; с = «Свидетель запомнил номера скрывшейся машины».
а = «Обезьяну можно научить играть на скрипке»; b = «Обезьяна очень умна»; с = «Обезьяна может запоминать порядок выполнения операций».
а = «Ребенок требует к себе повышенного внимания»; b = «Ребенок очень устал»; с = «Ребенок хочет есть».
а = «Работать на компьютере интересно»; b = «Работать на компьютере полезно»; с = «Работать на компьютере вредно для здоровья».
Задание 4. Составьте таблицы истинности для формул:
1) ; 2); 3).
1) ; 2); 3).
1) ; 2); 3).
1) ; 2); 3).
1) ; 2); 3).
Задание 5. Укажите, какие из формул в предыдущей задаче являются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми (опровержимыми).
Задание 6. С помощью таблиц истинности проверьте, какие из данных формул являются равносильными:
F = ;G = ;H = .
F= ;G = ;H = .
F = ;G = ;H = .
F = ;G = ;H = .
F = ;G = ;H = .