- •Введение
- •Памятка студенту
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •1.1 Сущность аксиоматического метода
- •1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
- •1.3 Предмет математики
- •1.4 Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Тема 2: Элементы теории множеств
- •2.1 Основные понятия теории множеств
- •2.2 Способы задания множеств
- •2.3 Операции над множествами
- •2.3.1 Пересечение множеств
- •2.3.2 Объединение множеств
- •2.3.3 Вычитание множеств
- •2.3.4 Дополнение
- •2.4 Формула Грассмана
- •Тема3: Элементы математической логики
- •3.1 Введение
- •3.2 Высказывания и операции над высказываниями
- •3.3 Формулы логики высказываний
- •Тема 4: Элементы комбинаторики
- •4.1 Введение
- •4.2 Простейшие комбинаторные задачи
- •4.3 Правила умножения и сложения
- •4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей
- •5.1 Введение
- •5.2 Случайные события и их вероятности
- •1) Найти число n всех возможных исходов данного опыта;
- •2) Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
- •3) Найти количество n(а) тех исходов опыта, в которых наступает событие а;
- •4) Найти частное , оно и будет равно вероятности событияА.
- •5.3 Операции с вероятностями
- •Если а и в несовместны, то
- •Тема 6: Элементы математической статистики
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Основные понятия математической статистики
- •6.3 Характеристики и параметры статистической совокупности
- •6.4 Статистика – дизайн информации
- •6.4.1 Группировка информации в виде таблиц
- •6.4.2 Графическое представление информации
- •6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
- •6.5 Числовые характеристики или «паспорт» выборки
- •1) Сложить все результаты, входящие в эту выборку;
- •2) Полученную сумму разделить на количество всех результатов.
- •1) Каждую варианту умножить на ее кратность;
- •2) Сложить все полученные произведения;
- •3) Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
- •1) Каждую варианту умножить на ее частоту;
- •2) Сложить все полученные произведения.
- •6.6 Экспериментальные данные и вероятности событий
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •7.1 Два подхода к построению моделей
- •7.2 Три типа моделей
- •7.3 Что такое математическое моделирование?
- •7.4 Основные этапы математического моделирования
- •7.5 Классификация моделей
- •7.6 Примеры математических моделей
- •1) Задача о движении снаряда.
- •2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
- •3) Транспортная задача.
- •4) Задача о радиоактивном распаде.
- •5) Задача о коммивояжере.
- •1. Построение модели.
- •6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
- •7) Задача об определении надежности электрической цепи.
- •8) Задача о диете.
- •7.7 Выводы
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вавилония и Египет Вавилония
- •Греческая математика Классическая Греция
- •Александрийский период
- •Упадок Греции
- •Индия и арабы
- •Средние века и Возрождение Средневековая Европа
- •Возрождение
- •Начало современной математики
- •Достижения в алгебре
- •Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Современная математика
- •Неевклидова геометрия
- •Математическая строгость
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2: Элементы теории множеств Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 3: Элементы математической логики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вопросы к экзамену (зачету)
Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б). (п – номер варианта)
Задание 2. Вычислите а), б), в). (п – номер варианта)
Задание 3. Решите задачу:
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 5?
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 11?
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? Сколько среди них чисел, кратных 3?
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? Сколько команд играли в зеленых футболках?
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?
В клетки квадратной таблицы 2x2 произвольно ставят крестики и нолики. Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? В скольких случаях в левой нижней клетке будет стоять крестик?
Задание 4. Решите задачу:
Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс равен двойке?
Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на первом месте?
Вова точно помнит, что в формуле оксида азота подряд идут буквы Н и О и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых Вове придется выбирать ответ. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит на втором месте?
Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. В скольких вариантах фамилии кандидатов на должность мэра и на должность префекта состоят из разного числа букв?
Одновременно происходят выборы мэра города и префекта округа. На должность мэра выставили свои кандидатуры Алкин, Балкин, Валкин, а на должность префекта – Эшкин, Юшкин, Яшкин. Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования и определите с его помощью число различных исходов. Как изменится ответ, если учесть еще кандидата «против всех»?
Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз?
Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик?
Из четырех тузов поочередно выбирают два. Нарисуйте дерево возможных вариантов. В скольких случаях тузы будут разного цвета?
У Аси есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она одевает к нему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве «сменки» берет босоножки или туфли. Нарисуйте дерево возможных вариантов Асиной одежды. Сколько дней Ася сможет выглядеть по-новому в этом костюме?
Задание 5. Решите задачу, используя правила умножения и сложения и формулы сочетаний, размещений и перестановок.
«Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:
а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;
б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;
в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать;
г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек все-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?
«Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:
а) по одному сесть за выбранные четыре инструмента;
б) выбрать 5 инструментов из 12 данных;
в) по одному сесть за какие-то 4 из выбранных 5 инструментов из 12 данных;
г) выгнать одного, не имеющего слуха, и потом сыграть на каких-то трех из выбранных 5 инструментов из 12 данных?
Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите:
а) число всех возможных вариантов выбора;
б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза;
в) число вариантов, при которых все полученные карты – пики;
г) число вариантов, при которых все полученные карты – одной масти.
По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать трех дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать:
а) все члены этой группы должны быть девочками;
б) все члены этой группы должны быть мальчиками;
в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?
По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) все члены этой группы должны быть девочками;
б) все члены этой группы должны быть мальчиками;
в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?
По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей одноклассницы. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) все члены этой группы должны быть девочками;
б) все члены этой группы должны быть мальчиками;
в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?
В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и 3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля, если известно, что:
а) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;
б) певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В;
в) 6 певцов накануне сорвали голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую партию;
г) все певцы и певицы прекрасно ладят между собой?
а) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке числа k от 0 до 5, во второй строке – числа ; б) При каком значении числаk получится наибольшее значение числа ? в) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы; г) Отметьте на координатной плоскости точки(k; ).
а) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке числа k от 0 до 5, во второй строке – числа . б) При каком значении числаk получится наибольшее значение числа ? в) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы. г) Отметьте на координатной плоскости точки(k; ).
а) Проверьте, что (а + b)2 = а2b0 + а1b1 + а0b2. б) Проверьте, что (a + b)3 =a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3. в) Используя равенство (a + b)4 = (a + b)3(a+b), выведите формулу сокращенного умножения для суммы двух чисел в четвертой степени. г) Проверьте, что (a + b)4 = a4b0 + a3b1 + a2b2 + a1b3 + a0b4.