
- •Введение
- •Памятка студенту
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •1.1 Сущность аксиоматического метода
- •1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
- •1.3 Предмет математики
- •1.4 Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
- •Тема 2: Элементы теории множеств
- •2.1 Основные понятия теории множеств
- •2.2 Способы задания множеств
- •2.3 Операции над множествами
- •2.3.1 Пересечение множеств
- •2.3.2 Объединение множеств
- •2.3.3 Вычитание множеств
- •2.3.4 Дополнение
- •2.4 Формула Грассмана
- •Тема3: Элементы математической логики
- •3.1 Введение
- •3.2 Высказывания и операции над высказываниями
- •3.3 Формулы логики высказываний
- •Тема 4: Элементы комбинаторики
- •4.1 Введение
- •4.2 Простейшие комбинаторные задачи
- •4.3 Правила умножения и сложения
- •4.3 Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей
- •5.1 Введение
- •5.2 Случайные события и их вероятности
- •1) Найти число n всех возможных исходов данного опыта;
- •2) Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
- •3) Найти количество n(а) тех исходов опыта, в которых наступает событие а;
- •4) Найти частное , оно и будет равно вероятности событияА.
- •5.3 Операции с вероятностями
- •Если а и в несовместны, то
- •Тема 6: Элементы математической статистики
- •6.1 Случайные величины
- •6.2 Основные понятия математической статистики
- •6.3 Характеристики и параметры статистической совокупности
- •6.4 Статистика – дизайн информации
- •6.4.1 Группировка информации в виде таблиц
- •6.4.2 Графическое представление информации
- •6.4.3 Гистограммы распределения большого объема информации
- •6.5 Числовые характеристики или «паспорт» выборки
- •1) Сложить все результаты, входящие в эту выборку;
- •2) Полученную сумму разделить на количество всех результатов.
- •1) Каждую варианту умножить на ее кратность;
- •2) Сложить все полученные произведения;
- •3) Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
- •1) Каждую варианту умножить на ее частоту;
- •2) Сложить все полученные произведения.
- •6.6 Экспериментальные данные и вероятности событий
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •7.1 Два подхода к построению моделей
- •7.2 Три типа моделей
- •7.3 Что такое математическое моделирование?
- •7.4 Основные этапы математического моделирования
- •7.5 Классификация моделей
- •7.6 Примеры математических моделей
- •1) Задача о движении снаряда.
- •2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
- •3) Транспортная задача.
- •4) Задача о радиоактивном распаде.
- •5) Задача о коммивояжере.
- •1. Построение модели.
- •6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
- •7) Задача об определении надежности электрической цепи.
- •8) Задача о диете.
- •7.7 Выводы
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вавилония и Египет Вавилония
- •Греческая математика Классическая Греция
- •Александрийский период
- •Упадок Греции
- •Индия и арабы
- •Средние века и Возрождение Средневековая Европа
- •Возрождение
- •Начало современной математики
- •Достижения в алгебре
- •Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Современная математика
- •Неевклидова геометрия
- •Математическая строгость
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 2: Элементы теории множеств Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 3: Элементы математической логики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 4: Элементы комбинаторики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 5: Элементы теории вероятностей Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 6: Элементы математической статистики Основной уровень
- •Повышенный уровень
- •Тема 1: Аксиоматический метод
- •Тема 7: Элементы математического моделирования
- •Тема 8: Элементы истории математики
- •Вопросы к экзамену (зачету)
4) Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N/(t) пропорциональна N(t), то есть N/(t) = -N(t), > 0 – константа радиоактивности данного вещества.
В
школьном курсе математического анализа
показано, что решение этого дифференциального
уравнения имеет вид N(t)
= N(0)е-t.
Время Т,
за которое число исходных атомов
уменьшилось вдвое, называется периодом
полураспада, и является важной
характеристикой радиоактивности
вещества. Для определения Т
надо положить в формуле
.
Тогда
.
Например, для радона
,
и, следовательно,Т
= 3,15 сут.
5) Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе А1, надо посетить города А2, А3 и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в А1. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог bij между городами Ai и Aj (i,j = 1, 2, 3, 4) таковы: b12 = 30, b14 = 20, b23 = 50, b24 = 40, b13 = 70, b34 = 60.
Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.
1. Построение модели.
Изобразим
каждый город точкой на плоскости и
пометим ее соответствующей меткой Ai
(i
= 1, 2, 3, 4).
Соединим эти точки отрезками прямых:
они будут изображать дороги между
городами. Для каждой «дороги» укажем
ее протяженность в километрах (рис.
7.2). Получился граф
– математический объект, состоящий из
некоторого множества точек на плоскости
(называемых вершинами)
и некоторого множества линий, соединяющих
эти точки (называемых ребрами).
Более того, этот граф меченый,
так как его вершинам и ребрам приписаны
некоторые метки – числа (ребрам) или
символы (вершинам).Циклом
на графе называется последовательность
вершин V1,
V2,…,Vk,
V1
такая, что вершины V1,
V2,…,Vk
– различны, а любая пара вершин Vi,
Vi+1
(i
= 1, …, k-1)
и пара V1,
Vk
соединены ребром. Рассматриваемая
задача заключается в отыскании такого
цикла на графе, проходящего через все
четыре вершины, для которого сумма всех
весов ребер минимальна.
Рисунок 7.2
2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в А1: 1) А1, А4, А3, А2, А1; 2) А1, А3, А2, А4, А1; 3) А1, А3, А4, А2, А1. Найдем теперь длины этих циклов (в км): L1 = 160, L2 = 180, L3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины – это первый.
Заметим,
что если в графе п
вершин и все вершины попарно соединены
между собой ребрами (такой граф называется
полным),
то число циклов, проходящих через все
вершины, равно
.
Следовательно, в нашем случае имеется
ровно три цикла.
3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути коммивояжера минимальна, следующий: А1, А4, А3, А2, А1 или в обратном порядке.
6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Рассмотрим
несколько химических соединений,
называемых нормальными алканами. Они
состоят изп
атомов углерода и п
+ 2 атомов
водорода (п
= 1, 2, …),
связанных между собой так, как показано
на рисунке 7.3 для п
= 3. Пусть
известны экспериментальные значения
температур кипения этих соединений:
уэ(3)
= -420,
уэ(4)
= 00,
уэ(5)
= 280,
уэ(6)
= 690.
Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом п для этих соединений.
Рисунок 7.3
1.
Построение модели.
Предположим, что эта зависимость имеет
вид
,
гдеа
и b
– константы, подлежащие определению.
Для нахождения а
и b
подставим в эту формулу последовательно
п = 3, 4, 5, 6
и соответствующие значения температур
кипения. Имеем: -42
3а
+ b,
0
4а
+ b,
28
5а
+ b,
69
6а
+ b.
2.
Решение математической задачи, к которой
приводит модель.
Для определения наилучших а
и b
существует много различных методов.
Воспользуемся наиболее простым из них.
Выразим b
через а
из этих уравнений: b
-42 – 3a,
b
– 4a,
b
28 – 5a,
b
69 – 6a.
Возьмем в качестве искомого b
среднее арифметическое этих значений,
то есть, положим b
16 – 4,5a.
Подставим в исходим в исходную систему
уравнений это значение b
и, вычисляя а,
получим для а
следующие значения: а
37, а
28, а
28, а
36. Возьмем в качестве искомого а
среднее
значение этих чисел, то есть положим а
34. Итак, искомое уравнение имеет вид:
.
4. Проверка адекватности модели. Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле: ур(3) = -370, ур(4) = -30, ур(5) = 310, ур(6) = 650. Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 50. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с п = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение п = 7: ур(7) = 990. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения уэ(7) = 980.