
- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 1 |
|
|
|
|
3200 |
1400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. |
|
|
|
, |
ВА не существует. |
|
|
|
|||
AB = 4000 |
4500 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
4900 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
; |
б) AB = BA = 0 |
0 |
0 |
; |
а) AB = |
, |
BA = |
|
= |
|
||||||
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
5 |
12 |
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) AB = BA |
= E = |
г) |
AB = |
, |
BA = |
6 |
3 16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−1 −4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−1 |
|
|||||
д) AB |
= |
−2 |
−8 |
0 |
, |
BA |
=[−9]. |
1.8. |
|
|
YA =[7 |
12 |
−4], |
XY |
= 8 |
|
−2 . |
||||||||||||||||
AX = |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−3 −12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
1.11. |
|
0. |
|
|
1.13. |
а) |
[5]; |
б) |
|
[10]. |
|
1.14. |
|
3 |
−6 3 12 |
|
−4 |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB = |
−1 |
5 |
, |
BX = |
0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1.15. 1) 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
, |
AY = |
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
2) 0; |
3) 6; |
4) 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
B BX = |
−1 |
|
A AY = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20400 |
|
0 |
. 1.17. |
0 |
|
0 . 1.18. а) |
0 |
0 ; |
|
|
5 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.16. |
|
|
б) 8 |
0 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20400 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
−2 |
|
−9 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
−1 |
|
|
16 |
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 0 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
г) |
; |
|
|
д) |
0 |
−2 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в) |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
0 |
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 −3 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−2 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
−18 |
40 |
|
|
−8 |
|
−6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
−29 |
20 |
|
|
|
|
|
|||||||
1.19. |
1.20. |
|
. |
1.21. |
|
2 |
|
−1 |
−2 . |
1.22. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
62 |
|
|
−6 |
|
−20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
−39 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
11 |
10 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
cos3α |
−sin 3α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.23. а) |
б) |
0 |
1 |
0 |
; |
|
|
|
; |
г) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
; |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
sin 3α |
|
cos3α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
274

|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
; |
б) |
λn |
|
|
nλ |
; |
|
cos nα |
|
−sin nα |
г) |
1 |
|
na |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.24. а) |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
n |
|
в) |
|
|
|
|
cos nα |
; |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
sin nα |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.25. а) 26; |
|
|
б) – 2; |
в) 0; |
|
г) 17; |
д) – 55; |
е) – 31; |
ж) 0; |
з) 0; и) 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.26. а) 50; |
|
|
б) 900; |
в) 1; г) –16; д) 160; |
е) 50; ж) 0; |
з) 0; |
|
и) 0; |
к) 415. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.27. 162. |
|
1.28. 96. |
1.29. knb. |
1.30. а) α = 5 |
3 |
; |
|
б) α = −1, α = 4; |
|
в) α = −3; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) α = 0, α = 3; д) ни при каком α; |
е) при любом α. 1.33. а) – 22; |
б) 32; в) 44; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) 108. |
1.34. −8x −15y −12z +19t. |
1.35. 2a −8b +c +5d. |
1.36. а) abcd; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
abcd; |
в) xyzuv. |
1.40. а) |
x R; |
|
б) |
x1 = −1, |
x2 = 2; |
|
в) |
x1 = −2, |
x2 = 4. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.41. а) первую строчку вычесть из остальных; |
|
б) |
первую |
строчку прибавить |
|
к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
остальным. 1.42. а) – 252; б) – 261; в) 5. |
1.44. – 6. |
1.45. – 3. |
|
1.46. а) |
x = 3, |
y = −1; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
x =1, y =1; |
в) |
x =1, |
y = −1; |
г) (3, 1, 1); |
д) |
(1, 2, −1); |
|
е) |
(1, 0, 5); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ж) |
(1, 0, −1); |
з) |
(–2; |
2; |
|
|
1); |
и) |
несовместна. |
|
1.47. а) |
|
если |
m ≠1, m ≠ −3, |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x = m −3 , |
y = m +3; |
если m =1, то нет решений; если m = −3, |
то y = 3 −2x, x R; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m −1 |
|
|
|
1−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
если m ≠ 0, m ≠ −1, то |
x |
= |
|
4 + m −m2 |
, |
y = |
−m −2 |
; |
если m = −1, |
|
то нет решений; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
+1 |
|
m +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если m = 0, то y = 2 − x, x R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1.48. а) нет; |
|
б) нет; в) да; |
|
г) нет. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.49. Являются. |
1.50. б) |
k ≠1, k ≠ 4; |
в) ни при каком k; |
г) при любом k. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.51. A−1 = |
|
|
1 |
|
d |
−b |
|
|
|
1.52. а) |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
; |
|
б) 0; |
в) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ad −bc −c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.53. |
−2 |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
в) не существует; |
г) |
|
|
5 |
|
15 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
7 |
|
|
|
5 1 |
|
|
|
|
1 |
|
8 |
|
−2 4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
12 6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
−6 |
−2 4 |
|
||||||||||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; з) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−8 |
|
|
|
2 4 |
; |
|
|
|
|
9 |
|
−7 |
−5 |
; |
|
|
|
−18 11 |
|
1 |
|
|
0 |
−4 2 |
|
; |
|||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
38 |
|
|
60 |
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
−3 3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
−18 1 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
3 −3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
3 −2 |
|
|
0 0 |
|
0 12 |
|
|
|
1 0 0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
3 0 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и) |
1 |
|
−3 |
1 |
|
1 |
|
; |
к) 0 0 |
|
6 0 |
; л) |
|
1 1 0 |
0 ; |
|
|
м) 0 |
|
1 0 |
0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 4 0 0 |
|
|
|
|
|
0 1 1 0 |
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
−2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
|
0 0 1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
0 −1 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
1.54. а) (1, 2, −1); |
|
б) (1, 0, −1); |
в) |
(3, 7, −1); |
г) (5, −11, −13); |
|
д) (1, 1, 1); |
|
|
275

е) |
(1, 0, −1). |
1.55. |
а) |
0,1 |
−0,2 |
|
|
3 |
|
5 |
; в) |
|
2 |
1 |
; |
г) нет решений; |
|||||||||||
|
|
|
04 |
; б) |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
(2 |
|
+3x |
) |
|
(3 +3x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
д) |
; |
е) |
|
|
3 |
2 |
|
|
4 |
2 |
, |
|
где x , x R; |
ж) |
4 |
5 |
6 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
9 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
−5 |
|
16 |
−8 |
|
|
|
1 |
−21 |
45 |
−156 |
|
|
|
|
|||||||
з) |
|
|
|
1.56. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 . |
|
|
4 |
|
−7 |
5 |
|
; |
|
|
|
|
−21 |
15 |
−21 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 −2 |
1 |
|
|
|
|
|
51 20 |
−79 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.59. а) |
r = 2, M = |
|
2 |
|
0 |
|
; |
|
|
б) |
r = 2, M = |
|
1 |
2 |
|
; |
в) r =1, M = |
|
2 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 0 |
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
г) r = 2, M = |
|
|
; |
|
|
д) r =1, M = |
|
4 |
|
; |
|
|
е) r = 3, M = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 0 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ж) r = 3, M = |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
з) r = 3, M = |
|
1 |
|
|
−2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
20 10 −40 |
|
; |
|
|
−1 3 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
−30 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.60. а) |
r = 2; |
б) r = 2; |
в) r = 3; |
|
|
|
|
г) |
r = 5; |
|
д) r = 3; |
|
е) r = 2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.61. а) |
r = 2; |
б) r = 3; |
в) r = 2; |
|
|
|
|
г) |
r = 2; |
|
д) r = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1.62. |
λ = 0,5. |
1.63. а) |
λ = 3; |
б) |
λ = 0, λ |
= 2; |
в) при любом λ; |
г) |
λ = 7 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.64. а) λ – любое; б) |
λ ≠ 2; |
в) λ ≠ −17; |
г) λ ≠ 0. 1.65. а) ни при каких λ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) λ = −3; |
в) λ ≠ −3. |
1.66. а) |
λ = |
1 ; |
|
|
|
б) λ ≠ |
1 |
; в) ни при каких λ. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.67. |
r = 0, если λ = 0; |
r = 2, если λ ≠ 0. |
|
|
1.70. |
|
r = 2 при λ = 0; r = 3 при λ ≠ 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.71. |
r = 2 при λ = 3; |
|
r = 3 при λ ≠ 3. |
1.72. а) |
r = 3; |
|
|
|
|
б) |
r = 2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.74. а) несовместна; |
|
б) |
5 −7x3 , 8x3 , x |
|
, |
|
где x R; в) |
(1, 1, 1); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) (11x3 −4, 3 −7x3 , x3 ), где x3 R; |
|
|
д) |
(1, 1, 1); |
|
е) несовместна; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) (x1, (5x1 −4x4 −11) |
10), (−7 −3x4 ) 5, x4 ), где x1, x4 R; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
з) несовместна; |
и) (x1, x2 , (3 −5x1 + 25x2 ) |
9), (10x2 −2x1) 3), где x1, |
x2 R; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к) ((9 − x3 −14x4 − x5 ) |
7, ((−1+ 4x3 −7x4 −3x5 ) 7, x3 , x4 , x5 )), |
|
где x3 , |
x4 , x5 R. |
276

1.75. а) λ ≠ 6; б) λ – любое. 1.76. |
λ = −2. 1.77. ((18 −15x2 ) 10, x2 , −75), где |
x2 −любое число. 1.78. ((7 − x3 ) |
3, (4 + 2x3 ) 3, x3 ), где x3 −любое число. |
1.79.(x1, x2 , −3x1 + 6x2 + 4, 2x1 − 4x2 −3), где x1, x2 −любые числа.
1.80.(x3 + x4 −1, 2x3 + x4 +5, x3 , x4 ), где x3 , x4 −любые числа.
1.81. (−2, 3). |
1.82. |
|
1 (−2x |
+ x −1), x −2x |
+ 2, x , x |
|
, где |
|||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 , x4 −любые числа. |
1.83. |
|
(1, 1, 1). |
1.84. |
(1, 1, 0). 1.85. (0, 1, 1). |
1.86.(1, 1, 1). 1.87. Несовместна. 1.88. (1, 0, 0, 0).
1.89.(x1, x2 , (34x1 −17x2 −29)5, (16x1 −8x2 −16)
5), где x1, x2 −любые числа.
1.90. |
x , x , 2 − |
27 x + |
|
9 |
x , −1+ |
3 |
|
x − |
1 |
|
x |
|
, где x , x |
2 |
– любые числа. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
13 |
1 |
|
13 |
2 |
|
|
|
13 |
1 |
|
|
13 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.91 . |
(x1, x2 , 1−3x1 −4x2 , 1). |
|
1.92. Несовместна. |
1.93. Несовместна. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.94. |
(x1, x2 , 13, 19 −3x1 −2x2 , −3), |
x1, |
|
|
x2 −любые числа. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.95. |
|
|
, x2 , − |
|
9 |
|
− x1 |
−2x2 , |
− |
25 |
−2x1 |
−4x2 , |
− |
15 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
||||||||||||||||||||||||||
x1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2x1 −4x2 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1, x2 −любые числа. |
1.96. |
|
|
|
(3, 0, −5, 11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.97. |
а) |
|
При λ ≠ 0 система несовместна. При |
λ = 0 она совместна и имеет общее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение |
|
−5x3 |
−13x4 −3 |
, |
|
−7x3 −19x4 |
−7 |
, x3 , |
|
|
|
где x3 , |
|
x4 −любые числа; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 , |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) При |
|
λ =1 |
|
система |
|
|
несовместна. |
|
При |
λ ≠1 |
система совместна и имеет общее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение |
|
|
x |
=1 |
− |
|
9 x |
|
− |
|
10 |
|
|
, x |
R, |
x |
|
|
= 4x |
+ |
|
5 |
|
, x = |
|
|
5 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
λ −1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
λ −1 |
4 |
|
|
λ −1 |
|
|
|||||||||||||||
1.98. |
(c, −2c, c), c R. |
|
|
1.99. |
(0, 0, 0). 1.100. |
|
4c1 −c2 |
, c , c , |
0 |
, c , c R. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
1 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.101. |
|
|
|
1 |
c, c, |
3 |
c, 0 |
|
|
c R. |
1.102. |
(5c, 1c, 7c), c R. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
4 |
4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.103. |
|
− |
1 c , |
5 c +c , |
|
c , c |
|
|
|
, c , c R. 1.104. (0, 0, 0). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.105. |
|
− |
4 (c +c ), 1 (c |
|
−5c ) |
, c , c |
|
, c , c R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.106. (2c1 +3c2 −c3 , c1 +c2 −c3 , −c1 + 2c2 +c3 , c1, c2 , c3 ), c1, c2 , c3 R.
277