4.3.Поліноми над числовими полями

а) Поліноми над полем С

Теорема (про звідність полінома в полі С). Кожний поліном степеня вищого одиниці є звідним в полі С.

Доведення.

Якщо f(x) – поліном степеня , то існує хоча б один коріньцьогополінома і, за наслідком з теореми Безу, , тобто. Оскільки, то>0, отже,звідний в полі С. ▲

Наслідок 1. Для того, щоб поліном був незвідним у полі С, необхідно

і достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці.

Наслідок 2. Кожний поліном над полем С єдиним способом

розкладається на лінійні множники в цьому полі:

, де ,,…,- корені,

–старший коефіцієнт полінома .

Якщо в розкладі існують кратні множники, то

,

де ,,…,– різні корені полінома,,,…,– відповідно їх кратності.

б) Поліноми над полем R

Теорема (про спряжений корінь полінома). Якщо комплексне число

є коренем полінома над полем R, то спряжене число

теж є коренем цього полінома.

Доведення.

Обчислимо і відокремимо дійсну та уявну частини:

.

Оскільки корінь, то, звідки,.

Обчислимо тепер . Оскільки, як дійсні числа, то(оскільки ). Отже,, тобто– корінь . ▲

Обидва корені таполінома мають, зрозуміло, однакову кратність.

Теорема (про звідність полінома в полі R). Кожний поліном над

полем R , степінь якого перевищує 2, є звідним у цьому полі.

Доведення.

Нехай коріньполінома степеняn>2 над полем R.

Якщо R, то

, де і,

тобто звідний в полі R.

Якщо , тотеж коріньi

,

де і, причому, тобто– звідний в R. ▲

Із викладеного вище випливає наступне твердження:

кожний поліном f(x) над полем R має єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі:

.

в) Поліноми над полем Q

Основна відмінність поліномів над полем Q від поліномів над полями R та С полягає в тому, що над полем Q існують поліноми як завгодно високого степеня, незвідні в полі Q, тоді як в кільці R[x] звідним є довільний поліном степеня вищого 2, а в кільці С[x] – степеня вищого 1.

Ясно, що будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами .

Терема Ейзенштейна (критерій незвідності).

Якщо в поліномі з цілими коефіцієнтами коефіцієнти,діляться на деяке просте число, причому не ділиться на, а старший коефіцієнт не ділиться на, то поліном незвідний у поліQ .

Доведення.

Досить показати , що при заданих умовах не може бути добутком двохполіномів ненульового степеня з цілими коефіцієнтами. Припустимо супротивне, тобто, що .

.

Тут r+s = n. Нехай .

Тоді

Оскільки , тобто, ділиться на, але не ділиться на, то наможе ділитися лише одне з чисел:або. Нехай, тоді. З другої рівності випливає, що(боза умовою, а). Тоді з третьої рівності. Так можна показати, що всі коефіцієнтиділяться на. Але це неможливо, бо тоді йділилось б на(із останньої рівності), що суперечить умові теореми.

Отже, – незвідний в полі Q. ▲

Таким чином, у кільці поліномів над полем Q є поліноми довільного степеня, незвідні в полі Q .