![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Множини
- •Відображення
- •1.3. Бінарні відношення на множині
- •2.1. Принцип математичної індукції Аксіома математичної індукції
- •Узагальнення другої форми принципу математичної індукції
- •2.2. Підстановки
- •Основні алгебраїчні структури
- •3.1. Означення комплексного числа
- •3.2. Дії над комплексними числами
- •3.3. Піднесення до степеня і добування кореня
- •4.1. Поліноми від однієї змінної
- •Г) Найбільший спільний дільник
- •Д) Найменше спільне кратне
- •4.3.Поліноми над числовими полями
- •4.4. Поліноми від багатьох змінних
- •Б) Симетричні поліноми
- •5.1. Поняття матриці
- •5.2. Дії над матрицями
- •6.1. Визначники малих порядків
- •6.2. Поняття визначника n-го порядку
- •6.3. Властивості визначника n-го порядку
- •6.4. Обчислення визначників n-го порядку
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Способи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •7.3. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
- •8.1. Поняття векторного простору, його розмірність і базис
- •8.3. Підпростори векторного простору
- •8.4. Лінійні перетворення у векторному просторі
- •8.5. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення а) Інваріантні підпростори
- •Звідси із лінійної незалежності векторів e1, e2, …, en випливає:
- •9.1. Поняття евклідового простору
- •9.2. Ортонормований базис
- •9.3. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
- •Властивості:
- •10.1. Лінійна функція (форма)
- •10.2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •10.3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •10.4. Закон інерції квадратичних форм
- •10.5. Класифікація квадратичних форм
- •10.6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •10.7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
- •11.2. Зведення матриць до жорданової нормальної форми
- •Необхідна і достатня умова зведення матриць до діагонального вигляду
10.6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
Теорема. Матриця переходу від одного ортонормованого базису до
іншого ортонормованого базису є ортогональною.
Доведення.
Нехай
e1,
e2,
…,
en
та e1',
e2',
…,
en'
–
два ортонормовані базиси в евклідовому
просторі V
і С– матриця переходу. Тоді
Розглянемо лінійне перетворення С з матрицею С в базисі e1, e2, …, en. Отримаємо
Але лінійне перетворення С, яке переводить ортонормований базис в ортонормований, є ортогональним, отже, С – ортогональна матриця. ▲
Нехай
тепер в евклідовому просторі V
вибраний ортонормований базис e1,
e2,
…,
en
і нехай задана білінійна функція А(х,
у),
яка в цьому базисі подається білінійною
формою А(х,
у)
де
.
Розглянемо
лінійне перетворення
з
тією ж матрицею А в тому ж базисі e1,
e2,
…,
en.
При переході до нового базису e1',
e2',
…,
en'
з
матрицею переходу С матриця А білінійної
форми перейде в B=C'АС,
a матриця лінійного перетворення
перейде
в C-1АС,
тобто взагалі ці матриці перетворюються
неоднаково. Однак, якщо новий базис e1',
e2',
…,
en'
–
теж ортонормований, то матриця переходу
С ортогональна, і C'=
C-1.
В цьому випадку матриця білінійної
форми
А(х,
у)
і матриця лінійного перетворення
змінюються однаково. Таким чином, в
евклідовому просторі кожній білінійній
функції відповідає цілком визначене
лінійне перетворення (яке має ту саму
матрицю в довільному ортонормованому
базисі).
Якщо
А(х,
у)
– симетрична білінійна функція, то
відповідне лінійне перетворення
буде самоспряженим. Але матриця
самоспряженого перетворення в деякому
ортонормованому базисі має діагональний
вигляд:
.
В цьому ж базисі білінійна форма А(х, у) зведеться до вигляду
,
а відповідна квадратична форма А(х, х) зведеться до суми квадратів:
,
тут
– власні значення лінійного перетворення
.
Приклад
З
допомогою ортогонального перетворення
звести квадратичну форму
в евклідовому просторі до суми квадратів.
Запишемо
характеристичний многочлен матриці
цієї форми
.
Його
корені:
.
В
новому базисі (який складається із
власних векторів, що відповідають
власним значення
і
)А(х,
х)
=
.
Спосіб відшукання власного базису вже розглядався.
10.7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
Одним із важливих і цікавих застосувань теорії квадратичних форм є задача спрощення рівняння кривих і поверхонь другого порядку. По суті, ця задача належить до числа тих, які і визначили постановку основних питань теорії квадратичних форм.
Для прикладу коротко розглянемо зведення до канонічного вигляду загального рівняння поверхні другого порядку у тривимірному просторі:
.
(1)
Розглянемо спочатку суму членів другого степеня в лівій частині рівняння. Легко помітити, що це є квадратична форма з симетричною матрицею
A
=
.
Відомо,
що існує ортогональне перетворення
простору
з матрицею С, яке переводить дану
квадратичну форму до суми квадратів
,
де
– характеристичні корені матриці А,
– прообрази вектора
при цьому перетворенні.
Після цього ортогонального перетворення рівняння (1) матиме вигляд
.
(2)
Принаймні
одне із чисел
відмінне від нуля, бо інакше матриця
АСС'
була
б нульовою, і задане рівняння (1) було б
лінійним. Припустимо, що
.
Тоді можна позбутися члена з
у рівнянні (2) за допомогою наступного
перетворення координат:
Дійсно, підставивши ці вирази до (2), отримаємо рівняння
.
(3)
Якщо
також
і
,
то, двічі виконуючи перетворення,
аналогічні останньому, отримаємо
рівняння вигляду
.
(4)
Рівняння (4) називається канонічним рівнянням центральної поверхні другого порядку. Тип поверхні та її властивості залежать від значення коефіцієнтів.
Якщо
=0,
то маємо рівняння конуса
,
який
у випадку
вироджується в точку
.
При
рівнянню (4) можна надати форму
,
де
.
Ясно, що
.
Якщо
всі коефіцієнти
– додатні, то поверхню називають
еліпсоїдом,
якщо
два додатні –
гіперболоїдом,
якщо
один додатний – двопорожнинним
гіперболоїдом.
Отже, у випадку, коли всі характеристичні корені матриці А відмінні від нуля (або ранг квадратичної форми рівний 3), завжди можна звести загальне рівняння (1) до канонічного рівняння (4) центральної поверхні другого порядку.
До
такої ж форми можна звести рівняння (1)
в окремих випадках і тоді, коли один чи
два характеристичні корені матриці А
дорівнюють нулю. Так, рівняння (3) прийме
форму (4), якщо одночасно з
виявиться
,
а одночасно з
буде
.
В цих “вироджених” випадках дістаємо
рівнянняциліндричних
поверхонь.
Отже,
в зазначених випадках отримуються
рівняння вигляду (3), в якому число
квадратів рівне рангу матриці А.
Відповідні поверхні називають центральними
в
зв’язку з тим, що для них існує центр
симетрії. Справді, рівняння (3) не
змінюється при перетворенні симетрії
відносно точки
.
Залишається
розглянути випадки, коли одне з чисел
або обидва дорівнюють нулю, а відповідні
коефіцієнти
відмінні від нуля.
Нехай
спочатку
.
Тоді рівняння (3) можна звести перетворенням
типу до вигляду:
.
Далі, виконаємо перетворення
і отримаємо рівняння
,
(5)
або
,
.
Це
рівняння еліптичного
(при
чигіперболічного
(при
)параболоїда.
Подібний
результат
дістаємо
при
.
Нехай,
нарешті,
,
але хоч одне з чисел
відмінне від нуля. Рівняння (3) набуде
вигляду:
.