4.4. Поліноми від багатьох змінних

а) Загальні відомості

Кільцем поліномів R[x₁, x₂, …, x_n-1, x_n] від n змінних x₁, x₂, …, x_n-1, x_n над цілісним кільцем R називається кільце поліномів від змінної x_n над кільцем R[x₁, x₂, …, x_n-1]:

R[x₁, x₂, …, x_n-1, x_n]=R[x₁, x₂, …, x_n-1][x_n].

Це означення має індуктивний характер. При n=1 воно зводиться до означення кільця поліномів від однієї змінної x₁ над цілісним кільцем R. Якщо ж вже введено означення кільця R[x₁, x₂, …, x_n-1] при n, то, за попереднім означенням, отримаємо означення кільця R[x₁, x₂, …, x_n-1, x_n].

Кожний елемент кільцяR[x₁, x₂, …, x_n-1, x_n] називають поліномом від n змінних x₁, x₂, …, x_n-1, x_n над R і позначають f(x₁, x₂, …, x_n-1, x_n), g(x₁, x₂, …, x_n-1, x_n) і т.д.

Форма запису многочлена, яка не містить подібних членів, називають канонічною. Ця форма єдина з точністю до порядку членів.

Степенем члена А полінома f(x₁, x₂, …, x_n) називається сума . Числоназиваєтьсястепенем члена відносно змінної . Найбільший із степенів членів називається степенем полінома, а член з найбільшим степенем називається старшим членом полінома.

Якщо всі члени полінома мають той самий степінь m, то поліном називають однорідним поліномом степеня m (або формою степеня m).

Для поліномів від багатьох змінних поняття степеня члена недостатньо для встановлення єдиного порядку розміщення членів. Тому тут для зручного впорядкування членів користуються так званим лексикографічним принципом (за аналогією до впорядкування слів у словнику).

Якщо два довільні члени полінома (1),(2) не подібні, то не всі відповідні степенітарівні між собою, тобто існує хоча б одне таке натуральне числоp, що приi=1, 2, …, p-1, але . Якщо, то член (1) називаєтьсявищим за член (2), якщо , то член (1) називаєтьсянижчим за член (2).

Розміщення членів полінома, при якому вищі члени випереджають нижчі, називається лексикографічним. Перший за порядком член полінома при лексикографічному розміщенні називають вищим членом полінома.

Приклад

Розмістити лексикографічно члени полінома:

.

Відповідь: .

Б) Симетричні поліноми

Важливим класом поліномів від багатьох змінних є клас симетричних поліномів.

Поліном f(x₁, x₂, …, x_n) називається симетричним відносно змінних x₁, x₂, …, x_n, якщо внаслідок довільної перестановки змінних x₁, x₂, …, x_n утворюється поліном, рівний даному.

Приклад

.

Важливі приклади симетричних поліномів зустрічались в теоремі Вієта:

Ці симетричні многочлени називають елементарними симетричними поліномами.

Ясно, що якщо симетричний поліном f(x₁, x₂, …, x_n) містить деякий член А, то він містить і член, утворений із заданого довільною перестановкою показників.

Приклад

В попередньому прикладі 3 і 3.

Очевидним є те, що якщо є вищим членом симетричногополінома, то .

Довільний симетричний поліном f(x₁, x₂, …, x_n) від n змінних над полем Р можна однозначно подати у вигляді полінома від елемен-тарних симетричних поліномів з коефіцієнтами з поляР.

Це твердження називають основною теоремою теорії симетричних поліномів.

Приклад

f(x₁,x₂) = 5x₁²x₂³ + 5x₁³x₂² = 5(x₁ + x₂) (x₁x₂)² = 5σ₁σ₂².

Лекція 5. Алгебра матриць