![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Множини
- •Відображення
- •1.3. Бінарні відношення на множині
- •2.1. Принцип математичної індукції Аксіома математичної індукції
- •Узагальнення другої форми принципу математичної індукції
- •2.2. Підстановки
- •Основні алгебраїчні структури
- •3.1. Означення комплексного числа
- •3.2. Дії над комплексними числами
- •3.3. Піднесення до степеня і добування кореня
- •4.1. Поліноми від однієї змінної
- •Г) Найбільший спільний дільник
- •Д) Найменше спільне кратне
- •4.3.Поліноми над числовими полями
- •4.4. Поліноми від багатьох змінних
- •Б) Симетричні поліноми
- •5.1. Поняття матриці
- •5.2. Дії над матрицями
- •6.1. Визначники малих порядків
- •6.2. Поняття визначника n-го порядку
- •6.3. Властивості визначника n-го порядку
- •6.4. Обчислення визначників n-го порядку
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Способи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •7.3. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
- •8.1. Поняття векторного простору, його розмірність і базис
- •8.3. Підпростори векторного простору
- •8.4. Лінійні перетворення у векторному просторі
- •8.5. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення а) Інваріантні підпростори
- •Звідси із лінійної незалежності векторів e1, e2, …, en випливає:
- •9.1. Поняття евклідового простору
- •9.2. Ортонормований базис
- •9.3. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
- •Властивості:
- •10.1. Лінійна функція (форма)
- •10.2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •10.3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •10.4. Закон інерції квадратичних форм
- •10.5. Класифікація квадратичних форм
- •10.6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •10.7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
- •11.2. Зведення матриць до жорданової нормальної форми
- •Необхідна і достатня умова зведення матриць до діагонального вигляду
10.1. Лінійна функція (форма)
Кажуть,
що в векторному просторі V
задана лінійна
функція f(x),
якщо кожному вектору xV
поставлено
у відповідність число
f(x),
так, що виконані наступні умови:
f(x + y) = f(x) + f(y),
f(αx ) = α f(x),
де х, у – довільні вектори із V, а α – будь-яке дійсне число.
Щоб
знайти вираження лінійної функції в
координатах, виберемо в просторі V
базис e1,
e2,
…, en.
Нехай в цьому базисі довільний вектор
xV
зображається так:
x = x1e1 + x2e2 + … + xnen.
Тоді
f (x) = f (x1e1 + x2e2 + … +xnen) = x1 f (e1) + x2 f (e2) + … + xn f (en).
Позначимо: f (e1) = a1, f (e2) = a2, ..., f (en) = an.
Таким чином, при фіксованому базисі лінійна функція f(x) подається лінійною формою:
f(x) = a1x1 + a2x2 + … + anxn,
де х1, х2, …, хn – координати вектора х, а1, а2, …, аn – коефіцієнти, які не залежать від вектора х.
10.2. Поняття білінійної та квадратичної функції
Задана у векторному просторі V функція двох змінних А(х, у) називається білінійною, якщо при фіксованому х вона лінійна за змінною у, а при фіксованому у – лінійна за х.
Отже,
якщо
А(х,
у)
– білінійна функція, то при всіх x,
y,
z
V
і довільному дійсному α
:
A(х + у, z) = A(х, z) + A(y, z);
A(αх, y) = αA(х, у);
A(z, х + у) = A(z, х) + A(z, y);
A(х, αy) = αA(х, у).
Прикладом білінійної функції є скалярний добуток х, у.
Знайдемо вираження білінійної функції в координатах.
Нехай в просторі V заданий базис e1, e2, …, en і нехай
x
=
x1e1
+
x2e2
+
… +
xnen
=xiei,
y
=
y1e1
+
y2e2
+
… +
ynen
=
yjej.
Тоді
A(х,
у)
= A(x1e1
+
x2e2
+
… +
xnen,
y1e1
+
y2e2
+
… + ynen)
=
=
xi
yj
A(ei,
ej)
=
aij
xi
yj,
де
коефіцієнти aij
= A(ei,
ej)
залежать тільки від базису і не залежать
від векторів х
та
у.
Отже в заданому базисі білінійна функція
подається білінійною
формою,
тобто виразом
aij
xi
yj.
Матриця
A
= [aij]
називається матрицею
цієї білінійної форми.
Наприклад, скалярний добуток (х,у) подається наступною білінійною формою:
(х,у)
= (xiei,
yjej)
=
aij
xi
yj,
де
aij
= (ei,
ej).
Вияснимо, як змінюється матриця білінійної форми при переході до нового базису.
Нехай
в базисі e1,
e2,
…, en:
A(х,
у)
=
aij
xi
yj,
де aij
= A(ei,
ej),
і нехай e'1, e'2, …, e'n – новий базис , в якому:
A(х,
у)
=bpq
x'p
y'q,
де
bpq
=
A(e'p,
e'q).
Покладемо A = [aij], B = [bij] і позначимо через C = [cij] матрицю переходу від старогo базису до нового. Тоді:
e'p = c1p e1 + c2p e2 + … + cnp en, e'q = c1q e1 + c2q e2 + … + cnq en ,
bpq = A(e'p, e'q) = A(c1p e1 + c2p e2 + … + cnp en, c1q e1 + c2q e2 + … + cnq en) =
=
cip
cjq
A(ei,
ej)
=
cip
cjq
aij
=
cip
aij
cjq
.
Позначимо
cip
через
dpi,
де матриця [dpi]
= C'
–
транспонована до матриці C=[cip].
Тоді
bpq
=
dpi
aij
cjq
. Далі, оскільки
aij
cjq
є елементом, який знаходиться в і-му
рядку та q-му
стовпчику матриці АС, то
dpi
aij
cjq
=
dpi
(
aij
cjq)
–
це елемент, який знаходиться в p-му
рядку і q-му
стовпчику матриці C'АС.
Отже, B
= C'АС.
Ранг матриці білінійної форми не залежить від вибору базису і може бути названий тому рангом білінійної форми.
Білінійна
форма називається симетричною,
якщо
x,
y,V:
A(х, у) = A(y, x).
У цьому випадку aij = aji, тобто матриця [aij] симетричної білінійної форми в довільному базисі буде симетричною.
Прикладом симетричної білінійної форми є скалярний добуток.
Якщо в симетричній білінійній формі A(х, у) покласти х=у, то отримається квадратична форма А(х, х). Із квадратичної форми однозначно визначається і відповідна їй симетрична білінійна форма.
A(х + y, х + y ) = А(х, х) + А(y, y)+ A(х, у)+ A(y, x), звідки
A(х,
у)
=
[
A(х
+
y,
х +
y
)
- А(х,
х)
- А(y,
y)].
Білінійна функція називається кососиметричною, якщо
x,
y,
V
: A(х,
у)
= - A(y,
x
).
В
заданому базисі кососиметрична білінійна
функція подається кососиметричною
білінійною формою A(х,
у)
=
aij
xi
yj,
де
aij
=
- aji,
при всіх i,j,
зокрема,
aii
=
0 при всіх і.