3.3. Піднесення до степеня і добування кореня

а) Піднесення до степеня

Теорема. При цілому додатному n для числа, поданого в

тригонометричній формі, має місце так звана формула

Муавра піднесення його до степеня:

тобто при піднесенні комплексного числа до степеня

модуль підноситься до цього степеня, а аргумент

множиться на показник степеня.

Доведення.

Для доведення скористаємось методом математичної індукції. Випадок n=2 випливає із доведеної вище формули добутку двох комплексних чисел при α=β. Із припущення правильності формули для n=k, тобто

розглянемо випадок n=k+1:

що і треба було довести.▲

Формула Муавра правильна і для цілих невід’ємних показників. Дійсно, оскільки , то достатньо застосувати формулу Муавра до числа, тригонометрична форма якого відома:

.

Приклад

б) Добування кореня

Розглянемо питання добування кореня n-го степеня із комплексного числа , тобто знаходження комплексного числа, такого, що.

Згідно формули Муавра ()ⁿ =r, звідки , де в правій частині знаходиться однозначно визначене додатне значення кореня. Оскільки кутита можуть відрізнятися на ціле кратне , то=+k, звідки .

Таким чином,

,

де k = 0, 1, 2, …, n-1 (оскільки при інших значеннях k корені будуть повторюватись).

Кут можна записати і так:, деk = 0, 1, 2, …, n-1.

Отже, добування кореня n-го степеня із комплексного числа α завжди можливе і дає n різних значень. Всі ці значення розміщені на колі радіуса з центром в точці нуль і ділять коло наn рівних частин.

в) Корені з одиниці

Важливим є випадок добування кореня n-го степеня із числа 1. Оскільки 1=cos0+isin0, то

, k = 0, 1, 2, …, n-1.

На комплексній площині корені n-го степеня з одиниці розміщені на колі одиничного радіуса і ділять його на n рівних дуг, один із коренів рівний 1 (при k=0).

Приклади

: 1 і -1.

: .

: 1, і, -1, -і.

● Всі значення кореня n-го степеня із комплексного числа α можна отримати множенням одного із цих значень на всі корені n-го степеня із одиниці.

Дійсно, якщо β – одне із значень , тобто=α, а – довільне значення , тобто, то, тобтотеж буде одним із значень для. Множачиβ на кожний із коренів n-го степеня з одиниці, отримаємо всі n різних значень коренів n-го степеня з α.

● Добуток двох коренів n-го степеня із одиниці сам є коренем n-го степеня із одиниці.

Дійсно, якщо і, то

● Число, обернене до кореня n-го степеня з одиниці, само є коренем n-го степеня з одиниці.

Дійсно, якщо , то ізвипливає, тобто.

Із цих двох тверджень випливає наступний висновок:

● довільний степінь кореня n-го степеня з одиниці також є коренем n-го степеня з одиниці.

Згідно формули Муавра, .

Для кожного n існують такі корені n-го степеня з одиниці, які не є коренями із одиниці ніякого меншого степеня. Такі корені називаються первісними коренями n-го степеня з одиниці.

Теорема. Якщо є первісним коренем n-го степеня з одиниці, то

число тоді і тільки тоді буде первісним коренем n-го

степеня, коли (k,n)=1.

Доведення.

Позначимо (k,n) = d.

Нехай d>1. Тоді ,, звідки, тобто коріньвиявився коренем-го степеня із одиниці.

Нехай d=1 і нехай є коренемm-го степеня із одиниці, де 1≤m<n.

Тоді . Оскільки– первісний коріньn-го степеня із одиниці, то n , звідки k з n не є взаємно простими, що суперечить припущенню. ▲

Таким чином, первісними є тільки ті корені , для яких (k,n)=1. Це, зокрема, і.

Якщо n – просте число, то первісними коренями n-го степеня з одиниці є всі корені, крім самої одиниці.

Лекція 4. Поліноми