2. Відображення

При заданих множинах X і Y відображення f із областю визначення X і областю значень Y ставить у відповідність кожному елементу елемент. Символічний запис:

або .

У випадку відображенняf називають перетворенням f множини X в себе.

Образом при відображенні f називається множина всіх елементів . ПозначаєтьсяIm f (Im – від image – англ.). Символічний запис:

Множина називаєтьсяпрообразом елемента . Аналогічно вводиться поняттяпрообразу множини

Відображення називаєтьсясюр’єктивним (або відображенням на), якщо кожен елемент множини Y має прообраз, тобто якщо .

Відображення називаєтьсяін’єктивним, якщо різним елементам із прообразу співставляються різні елементи із образу, тобто якщо із випливає.

Відображення називаєтьсябієктивним або взаємно однозначним, якщо воно одночасно сюр’єктивне та ін’єктивне.

Два відображення f та g називаються рівними, якщо їх відповідні області визначення та значень співпадають, причому

Одиничним (або тотожнім) відображенням називається відображення, яке переводить кожний елементв себе.

Відображення називаєтьсявкладенням, якщо, при воно кожному елементуставить у відповідність той же елементx, але вже в множині Y.

Відображення називаєтьсязвуженням (або обмеженням) відображення , якщоіВ свою чергу відображенняg називається продовженням відображення f.

Добутком (або композицією) двох відображень іназивається відображення, яке визначається умовою

Зміст цієї операції добре видно із трикутної діаграми

f*g

Z

X

g

f

Y

Ця діаграма комутативна, оскільки результат переходу від X до Z не залежить від того, чи здійснюється він з допомогою , чи використовується проміжний етапY.

Ясно, що добуток визначений не для будь-яких відображень f і g, необхідною умовою для його існування є спільна для цих відображень множина Y. Для простоти замість пишуть просто

Композиція відображень в загальному некомутативна, тобто

Композиція відображень асоціативна, тобто якщо тоДійсно,

Нехай і– деякі відображення, такі що композиціїівизначені. Якщо, тоf називається лівим оберненим до g, а g – правим оберненим до f . Якщо ж , тоg називається двостороннім оберненим до f (а f – до g) і позначається . Обернене до себе має тільки взаємно однозначне (бієктивне) відображенняf, причому це обернене відображення теж бієктивне.

1.3. Бінарні відношення на множині

а) Властивості бінарних відношень

Бінарне відношення на множиніА називається рефлексивним, якщо , тобто коли кожен елемент множини перебуває у цьому відношенні сам із собою.

Відношення називаютьнерефлексивним, якщо в множині А існує елемент х, який не перебуває у відношенні сам із собою:

Відношення називаєтьсяантирефлексивним, якщо для будь-якого має місце

Ясно, що антирефлексивне відношення є нерефлексивним, але нерефлексивне не завжди є антирефлексивним.

Бінарне відношення на множиніА називається симетричним, якщо

Відношення називаютьнесиметричним (асиметричним), якщо .

Відношення називаєтьсяантисиметричним, якщо виконується умова

Відношення називаєтьсятранзитивним, якщо

Відношення називаєтьсядосконалим, якщо

виконується

Приклади

1. Відношення „менше” на множині дійсних чисел антирефлексивне, антисиметричне, транзитивне і досконале.

2. Відношення „не менше” на множині дійсних чисел рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і досконале.

3. Відношення „бути сином” на множині чоловіків антирефлексивне, несиметричне, не транзитивне, не досконале.

б) Відношення еквівалентності

Відношення називається відношеннямеквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Приклади

1. Відношення рівності.

2. Відношення подібності геометричних фігур.

Розбиттям непорожньої множини А називається сукупність непорожніх підмножинХ множини А таких, що:

1. ø.

2. Об’єднання всіх підмножин Х множини А дорівнює множині А.

Задавши на множині А відношення еквівалентності, можна утворити розбиттямножиниА на класи еквівалентних елементів так, щоб для будь-яких , які належать до одного класу, справджувалось, а для будь-яких, які належать до різних класів, справджувалось

Приклади

1. Відношення еквівалентності – „бути подібним” розбиває множину всіхn-кутників площини на класи подібних між собою n-кутників.

2. Відношення еквівалентності – „навчатися на одному факультеті” розбиває множину студентів університету на класи еквівалентності – факультети.

в) Відношення порядку

Відношення називають відношеннямстрогого порядку, якщо воно антирефлексивне, антисиметричне і транзитивне.

Приклади

1. Відношення „бути старшим” на множині людей є відношенням строгого порядку.

2. Відношення „ділиться на” на множині натуральних чисел є відношенням нестрогого порядку.

Множину, на якій задано відношення порядку, називають впорядкованою.

Спільною рисою всіх відношень порядку є властивість транзитивності.

До нетранзитивних відношень належать відношення толерантності, які характеризуються властивостями рефлективності і симетричності.

Лекція 2. Принцип математичної індукції. Підстановки.

Основні алгебраїчні структури